Les nombres complexes I Ensemble des nombres complexes 1) Écriture algébrique d’un nombre complexe Définition : il existe un ensemble noté ℂ appelé ensemble des nombres complexes tel que : 1. ℂ contient l’ensemble ℝ des nombres réels. 2. ℂ contient un élément noté tel que = −1 3. Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme = où et sont des réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de . Définition. Soit un nombre complexe = + avec , réels est la partie réelle de et est la partie imaginaire de On note = et = et sont des réels. Remarque : tout complexe du type = Ex. 3 +1 =1; −5 − = −1 • • est appelé imaginaire pur. = 0⇔ est un réel = 0 ⇔ est un imaginaire pur 2) Interprétation géométrique Dans le repère orthonormé ; , , à chaque point M correspond un couple de réels ; à tout couple ses coordonnées ; ; on fait correspondre le nombre complexe = + On dit que est l’affixe du point M et que le point M est le point image du nombre complexe = + L’axe des abscisses s’appelle l’axe des réels l’axe des ordonnées s’appelle l’axe des imaginaires purs. 3) Égalité de deux nombres complexes Deux nombres complexes sont égaux ⇔ les parties ré elles sont é gales et les parties imaginaires sont é gales. + = = + et ⇔ = = ′ = ′ + ′ Conséquence : + =0⇔ =0 =0 II Conjugué d’un nombre complexe Définition. Soit un nombre complexe dont l’écriture algébrique est = + On appelle conjugué du nombre complexe le nombre complexe noté ̅ tel que ̅= − Dans le repère orthonormé ; , , les points M d’affixe et "′ d’affixe ̅ sont symétriques par rapport à l’axe des réels. Opérations sur les conjugués • Pour tout complexes , ̅ = • Pour tous complexes et ′, //////// + ′ = ̅ + 0′ et /////// × ′ = ̅ × 0′ • Pour tout complexe , et tout entier naturel 2 3 = non nul : /// ̅ 3 • Pour tout complexe , et tout complexe ′ 4 4̅ non nul : ///// = 5 0 4 4 Autres propriétés • Si = + , alors × ̅ = • Si = + + ∈ℝ , alors est réel ⇔ ̅= est imaginaire pur ⇔ ̅ = − III Équation du second degré à coefficients réels Soient , et 7 trois réels avec ≠ 0 L’équation du second degré • une solution réelle si ∆= 0 : + + 7 = 0 admet dans ℂ ;< : = = • deux solutions réelles si ∆> 0 : ? = ;<;√∆ = = et • deux solutions complexes conjuguées si ∆< 0 ? On a + +7 = = ;<;C√;∆ = − ? et − = ;<A√∆ = ;<AC√;∆ = forme factorisée IV Module d’un nombre complexe 1) Définition Soit un nombre complexe ayant le point M comme image dans le repère orthonormé ; , . On appelle module de et on note | | la distance OM. Il résulte de la définition que pour tout complexe , | 2) Propriétés • Si = + , alors | |=√ + • Pour tout nombre complexe , •| | = 0 ⇔ = 0 • Pour tout complexe et ′, | × • Pour tout complexe V Affixe d’un vecteur |≥0 × ̅=| | ∈ℝ ′ | = | | × | ′| |4| 4 et tout complexe ′ non nul, G 5 G = | | 4 4 On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé ; , . Définition. Si A est le point d’affixe U et B le point d’affixe W , alors XY a pour affixe UW = W − U Propriétés • = ⇔ Z= [ Deux vecteurs sont égaux ⇔ les af]ixes des deux vecteurs sont égales. • Si les vecteurs ^ et ^′ ont pour affixes respectives et ′, alors le vecteur ^ + ^′ a pour affixe + ′ • Si le vecteurs ^ a pour affixe , alors pour tout réel _, alors le vecteur _^ a pour affixe _ Milieu Si A et B sont deux points d’affixes respectives 4d A4e alors le milieu I de [XY] a pour affixe U et W, VI Argument et forme trigonométrique Définitions Dans le plan complexe, au couple correspond le nombre complexe = + ; affixe de M = =m + + + √ ; | | =arg + + √ On cherche le réel f tel que cos f = = √=o A< et sin f = o Ce nombre est défini à 2s près On a donc = | | cos f + sin f ; le nombre f est appelé l’argument de et est noté arg gh 4 |4| √=o A< o . À RETENIR f argument de cos f = < et sin f = ij 4 |4| Propriétés Si et ′ sont deux nombres complexes non nuls : arg = arg Conséquences : • Pour tout de ℂ : arg x ∗ + arg ? 4 + _2s où _ est un entier y = − arg • Pour tout de ℂ∗ et tout entier naturel 2 : 3 arg = 2 × arg + _2s où _ est un entier Utilisation de l’affixe • M est le point d’affixe ; " = | | et arg • A est le point d’affixe XY = | W − U| ; x U = z ; "{ 2s et B le point d’affixe ; XYy = arg + _2s où _ est un entier W − W U • Si A, B, C et D sont quatre points d’affixes respectives U ≠ W et | ≠ } , alors zXY, ~•{ = arg 4€ ;4• 4e ;4d U, W, | et } telles que + _2s avec _ entier VII Forme exponentielle Introduction Soit ƒ la fonction définie sur ℝ et à valeurs dans ℂ par ƒ „ = cos „ + sin „ En utilisant les développements de cos „ + … = cos „ × cos … − sin „ × sin … et de sin „ + … = sin „ × cos … + sin … × cos „, on démontre que, pour tous réels „ et …, ƒ „ + … = ƒ „ × ƒ … ƒ „ + … = cos „ + … + sin „ + … = cos „ × cos … − sin „ × sin … + sin „ × cos … + sin … × cos „ ƒ „ × ƒ … = cos „ + sin „ cos … + sin … =cos „ × cos … + cos „ × sin … + sin „ × cos … + sin „ × sin … = cos „ × cos … − sin „ × sin … + sin „ × cos … + sin … × cos „ = ƒ „ + … Cette fonction ƒ vérifie donc la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle. Définition. Le nombre complexe cos f + sin f est de module 1 ; il peut s’écrire C‚ . Le nombre complexe | | cos f + sin f peut s’écrire | | C‚ c’est la forme exponentielle du nombre complexe . Propriétés Pour tous f et f′ et pour tous † et †′ de ]0 ; +∞[ 5 † C‚ = † C‚ ⇔ † = † ˆ f = f + _2s avec _ entier 5 5 † C‚ × † C‚ = †† C ‚A‚ z† C‚ 3 { = †3 C3‚ ‰h Š‹ ‰ 5 h Š‹ = ‰ ‰5 C ‚;‚ 5 C‚ C‚ 5 × C‚ C‚ 5 z = C‚ 3 + forme algébrique de = | | cos f + sin f forme trigonométrique de =| | C‚ forme exponentielle de C ‚A‚ 5 C ‚;‚ 5 { = À RETENIR = = C3‚ VIII Ensemble de points 1) Cercle Soit † un réel strictement positif et Ω le point d’affixe • • L’ensemble des points " tels que | − •| = † est le cercle de centre Ω et de rayon † 2) Médiatrice Si A et B sont deux points d’affixes respectives U et W , alors l’ensemble des points M d’affixe tels que | − U | = | − W | est la droite médiatrice du segment [AB]. On peut déterminer une équation de cette médiatrice en remplaçant par „ + … et en utilisant l’égalité des modules | − U | = | − W |, puis en élevant au carré.