Etude du circuit RLC série

Etude du circuit RLC série
en régime transitoire
Cet exposé a pour objet l’étude du circuit RLC série en régime transitoire
apériodique et critique ; nous avons toutefois jugé utile d’inclure le régime
pseudopériodique bien qu’il est étudié dans le premier sujet d’exposé.
Equation différentielle générale
L’écriture de la loi des mailles dans le circuit conduit à l’équation différentielle
suivante :
E (t )  u L (t )  u R (t )  uC (t )
E (t ).02 
d 2uC (t )
du (t )
 2. C  02 .uC (t )
2
dt
dt
avec 02 
1
R
et  
L.C
2 .L
Pour la résoudre, on adopte la méthode mathématique habituelle : en résolvant
l’équation homogène associée ; puis en cherchant des solutions générales à cette
équation.
Equation homogène associée
d 2uC (t )
du (t )
 2. C  02 .uC (t )
0
2
dt
dt
On écrit l’équation caractéristique : r 2  2r  02  0
  4.(2  02 )  4.
avec   2  02
On voit dès lors que 3 cas sont à considérer selon le signe de  :
si  >0 2 solutions réelles distinctes
u C (t )  E (t )  Ae r t  Be r t
r1     et r2    
1
2
si  <0 2 solutions complexes distinctes
r1    i 02  2 et r2    i 02  2
u C (t )  E (t )  e  t ( A cos(t )  B sin( t )) avec  2  02  2
si  =0 une racine double
u C (t )  E (t )  e  t ( A  Bt )
r1  r2   et
Détermination des constantes :
Pour déterminer les constantes, il convient de poser des hypothèses ou
conditions de Cauchy en mathématiques ; en physique, ce sont les conditions
initiales.
Conditions initiales : uC (t  0)  0 et i (t  0)  0 .
Pour l’intensité i (t), cela revient à dériver l’expression de la tension aux bornes
du condensateur par rapport au temps. On obtient en fin de compte :
uC (t )  E (t ) 
r2
r
E (t )e r1t  1 E (t )e r2t
r1  r2
r1  r2
u C (t )  E (t )  e t ( E (t ) cos(t ) 
E (t )
sin( t ))

u C (t )  E (t )  e  t ( E (t )  E (t ).t )
lorsque
 >0
lorsque
 <0
lorsque
 =0
Définition des grandeurs physiques :
Le sens physique de ces différentes grandeurs sera explicité dans le paragraphe
suivant.
 Pulsation propre du système oscillant en l’absence d’amortissement (
R  0)
0 
1
LC
 Facteur d’amortissement :

R
2L
Dans les circuits RLC, c’est la résistance qui est responsable de
l’amortissement ; ici, on voit que si la valeur de la résistance augmente, on
dira que le circuit est de plus en plus amorti.
 Coefficient d’amortissement :

R L
2 C
  0
 Pseudo pulsation, pour le régime pseudopériodique uniquement
  02  2  0 1   2
 Résistance critique
RC  2
L
C
Des maths à la physique :
Après avoir traité le problème de façon purement mathématique (signe du
déterminant), on va maintenant passer à la physique du problème en reliant
le signe du déterminant à la valeur du coefficient d’amortissement α par
rapport à 1.
si  >0,   1 et R  RC
Le régime est apériodique car fortement amorti.
si  <0,   1 et R  RC
Le régime est dit pseudopériodique car faiblement amorti.
si  =0,   1 et R  RC
Le régime est dit apériodique critique ou critique.
Il reste maintenant à donner une illustration graphique de ces solutions ; ceci
est fait sur la dernière page de résumé…
Résumé sur le circuit RLC en régime transitoire.
A Mise en équation par la loi des mailles dans le circuit :
E (t )  u L (t )  u R (t )  uC (t )
E (t ).02 
d 2uC (t )
du (t )
 2. C  02 .uC (t )
2
dt
dt
avec 02 
1
R
et  
L.C
2 .L
B Résolution de l’équation : (EHA et constantes) …
r2
r
E (t )e r1t  1 E (t )e r2t en régime apériodique.
r1  r2
r1  r2
E (t )
u C (t )  E (t )  e t ( E (t ) cos(t ) 
sin( t )) en régime pseudopériodique.

u C (t )  E (t )  e  t ( E (t )  E (t ).t en régime critique.
uC (t )  E (t ) 
C Graphes des solutions :