Système vibratoire à un degré de liberté avec amortissement

Cours GMP2 M.Maldonado
Vibrations à 1 ddl
Système vibratoire à un degré de liberté avec amortissement
Système MBK
1 Notion d'amortissement visqueux
La résultante des "eorts d'amortissement" (qui jouent le rôle de résistance au mouvement) est proportionnelle à la vitesse ẏ de déplacement du solide considéré :
Fy = −b.ẏ(t)
(1)
Le facteur d'amortissement visqueux b a la dimension N.s.m−1 . Notons que cet amortissement peut-être visualisé par exemple en analysant le comportement d'un liquide comme
l'eau : l'eau exerce une force (liée à sa viscosité) sur un corps en mouvement qui varie
avec la vitesse de ce corps. Ainsi, prenons le cas d'une personne à la piscine : "à l'arrêt",
la personne rentre sans souci dans l'eau ... mais si elle est lancée à une forte vitesse dans
l'eau, par exemple d'un plongeoir, la force exercée par l'eau est bien diérente ! On peut
aussi tenter une petite expérience avec un pot de miel : le doigt rentre facilement dedans
à vitesse lente, par contre, si on lance rapidement son doigt dans le miel, celui-ci exerce
une force bien plus importante, liée à la vitesse du doigt, et on risque même de se faire
mal au doigt qui restera à l'extérieur du miel !
2 Mise en équations du système MBK dans le cas des
vibrations libres
La mise en équation est très similaire au système MK. On rappelle que le système
est en vibrations libres lorsqu'il n'est soumis à aucune force extérieure variable (avec le
temps).
Initialement, le ressort est libre d'eort, la masse n'y est pas
accrochée. Puis on accroche celle-ci et on mesure l'allongement y0 , dû au poids (voir
gure 1) :
le repère choisi pour le mouvement comprend un axe ⃗y d'origine O, telle que y = 0
pour la position "ressort sans masse".
Le premier théorème de Newton (principe de l'inertie) permet d'écrire, en projection sur l'axe ⃗y , l'équation scalaire décrivant l'équilibre de la masse isolée (voir
gure 3) :
M g − ky0 = 0
(2)
Équilibre statique :
Le scalaire y0 est appelé "déplacement statique".
1
2.1
Vibrations libres
statique
ressort libre
mouvement oscillant
y=0
y0
y(t)
y
Figure 1 paramètrage ressort libre, avec masse, en statique et en dynamique
Si maintenant on écarte la masse d'une
certaine élongation (petite devant la longueur maximale d'élongation du ressort), et
ensuite on lache cette masse, cette dernière suit la loi dynamique (voir gure 2 pour le
paramètrage) : le centre de masse G a une accélération verticale qui s'écrit ⃗γG (M/0) = ÿ.⃗y
⃗ d = M.ÿ.⃗y . Le principe fondamental de la dynamique
d'où une résultante dynamique R
donne l'expression du théorème de la résultante (deuxième loi de Newton) :
Équilibre dynamique de la masse isolée
M g − ky(t) − bẏ(t) = M.ÿ(t)
(3)
On pose souvent un autre paramètre Y (t), qui mesure la variation relative de position
de la masse par rapport à l'équilibre statique :
Y (t) = y(t) − y0
(4)
Dans l'équation du mouvement nous avons :
Y (t) + y0 = y(t)
donc avec l'équation (2) : M g −k(Y (t)+y0 )−b(Ẏ (t)+ ẏ0 ) = M (Ÿ (t)+ ÿ0 ) et ẏ0 = ÿ0 = 0
ce qui donne : M g − ky0 = kY (t) + bẎ (t) + M Ÿ (t) dont le premier membre est nul,
puisqu'il correspond à l'équation (2), ainsi on obtient l'équation du mouvement dénissant les oscillations autour du point d'équilibre statique :
M Ÿ (t) + bẎ (t) + kY (t) = 0
(5)
D'où le nom de système MBK. On a encore
Ÿ (t) +
k
b
.Y (t) +
.Y (t) = 0
M
M
2
(6)
statique
mouvement oscillant dans une position donnée
−ky0 .⃗y
−by0 .⃗y
−ky0 .⃗y
M g.⃗y
−ky0 .⃗y
−by0 .⃗y
M g.⃗y
⃗
Rd
M g.⃗y
Figure 2 mise en équations cas statique (à gauche) et dynamique (à droite)
On posera :
√
ω0 =
2ω0 .ξ =
b
M
k
M
pulsation propre du système non amorti
ξ : coecient adimensionnel d'amortissement
(7)
(8)
alors l'équation devient :
Ÿ + (2ω0 .ξ) Ẏ + ω02 Y = 0
(9)
On peut chercher une solution particulière Yp (t) de l'équation sous la forme
r appartenant au corps des complexes ; r doit
alors satisfaire classiquement l'équation caractéristique :
Résolution de l'équation du mouvement
ert ,
r2 + (2ω0 .ξ) r + ω02 = 0
D'où
r1,2 = −ξ.ω0 ± ω0
√
ξ2 − 1
(10)
(11)
On distingue trois cas :
1. ξ > 1 : mouvement apériodique, cas rare ; il n'y a pas d'oscillation et alors
Y (t) = e−ξ.ω0 t (A.chΩt + B.shΩt)
√
Ω = ω0 ξ 2 − 1
3
(12)
(13)
2. ξ = 1 : mouvement apériodique critique, l'équation caractéristique a une racine
double ω0 et
Y (t) = e−ξ.ω0 t (At + B)
(14)
3. ξ < 1 : oscillations, la solution générale prend la forme
Y (t) = e−ξ.ω0 t (A.cosΩt + B.sinΩt)
(15)
Y (t) = e−ξ.ω0 t C.cos (Ωt − φ)
(16)
avec la même représentation de Fresnel vu au premier chapitre : C 2 = A2 + B 2 et
B
tanφ = .
A
Y (t)
directrice Y = ±C.e−ξ.ω0 .t
t
Figure 3 Allure des oscillations libres amorties
On posera
Ω = ω0
T =
√
1 − ξ2
2π
Ω
pseudo-pulsation propre en rad/s
(17)
pseudo-période propre en sec (Hz−1 )
(18)
Le mouvement est sinusoïdal amorti de pseudo-période T et comme lim Y (t) = 0,
t→∞
on dit que la position d'équilibre (Y=0) est asymptotiquement stable.
Dans la pratique, l'amortissement réduit ξ est de l'ordre de 10−2 à 10−3 .
4
3 Exercices
1.
Exercice 1
On considère un système dont l'observation de la réponse pseudo-périodique est
donnée par la gure ci-après.
Exprimer le coecient d'amortissement réduit en fonction de D1 et D2 .
2.
Exercice 2
Une machine sur son assise isolante est modélisée par un système à un degré de
liberté présenté gure 4. Une instrumentation a permi de mesurer la réponse libre
du système. L'objet de cet exercice est d'identier ses caractéristiques vibratoires.
Le déplacement libre de la structure est tracé gure 5 et zoomé pour les conditions
initiales gure 6. On fera l'hypothèse que la structure est faiblement amortie.
(a) Trouver la pulsation propre ω0 du système.
(b) Mesurer le décrément logarithmique ; en déduire le facteur d"amortissement
réduit. Vérier l'hypothèse d'amortissement faible en justiant votre réponse.
(c) Trouver le déplacement initial de la masse x(t = 0) = x0 .
(d) Mesurer la vitesse initiale de la masse ẋ(t = 0) = v0 .
(e) Quelles mesures complémentaires, faudrait-il faire, pour identier complétement le système ?
5
Figure 4 Système à 1ddl à identier
Figure 5 Réponse libre mesurée
6
Figure 6 Zoom sur les conditions initiales
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