Rappels maths IMRT

Rappels Mathématiques
 Puissances
Définition : x étant un nombre non nul, et n un nombre entier non nul, la puissance n-ième de x est le
produit de n facteurs identiques à x :
x n = x  x  ……  x. On a n facteurs et n est l’exposant.
Règles : Pour a non nul
1. a0 = 1 et a1 = a
1
1
2. a -1 = ( inverse de a ) et a-n = n
a
a
n
a
3. a n  a p = a n + p et
an–p
ap
4. ( a n ) p = a n p
n
5.
(a  b) =a  b
n
n
n
an
a
et   = n
b
b
Remarque :
Les puissances de 10 sont un cas particulier des règles précédentes. Il suffit de remplacer a par 10.
De plus, on a par exemple 105 = 1 00 000 et 10-5 = 0, 00001.
Fonctions trigonométriques :

On utilisera les fonctions sinus ( notée sin ), cosinus ( notée cos ) et tangente ( notée tan ).
sin( x)
 La fonction tangente peut se déduire des deux premières : tan( x) 
cos( x)
 Ces fonctions sont périodiques .
la période pour les fonctions sinus et cosinus est 2 ; on en déduit donc sin( x  2 )  sin( x) ; de même,
sin( x  4 )  sin( x  2 )  sin( x) …en généralisant, on obtient :
sin( x  2  n   )  sin( x) , n étant un nombre entier positif ou négatif.
De la même façon, on a : cos( x  2  n   )  cos( x ) , n étant un nombre entier positif ou négatif.
la période pour la fonction tangente est  ; on a donc: tan( x  n   )  tan( x ) , n étant un nombre entier
positif ou négatif.
Quelques valeurs remarquables pour les fonctions cosinus et sinus .
Les fonctions sinus et cosinus évoluent entre +1 et -1.
sin(x)
sin(O)  sin(n. )  O


sin( )  sin(  2.n. )  1
2
2


sin( )  sin(  2.n. )  1
2
2


cos( )  cos(  n. )  0
2
2
cos( )  cos(  2.n. )  1
cos(O)  cos(2.n. )  1
On peut retrouver facilement ces valeurs grâce au cercle trigonométrique, de rayon 1.
cos(x)

Cas particulier des grandeurs périodiques dans le temps …très fréquentes en physique :
Selon le théorème de FOURIER, une grandeur périodique, de période T, peut
toujours se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales ( ou cosinusoïdales ) :
on étudiera donc plus particulièrement les grandeurs variant de façon sinusoïdale ( ou
cosinusoidale ) dans le temps .
2
 t   ) A est l’amplitude de G(t)
T
( G(t) oscille donc entre +A et –A ) ;  sa phase à l’origine.
Une telle fonction peut s’écrire : G (t )  A  sin(
On sait par ailleurs que la fréquence de G(t) ( notée  ) est telle que  
peut par donc exprimer également G(t) ainsi G (t )  A  sin(2  .t   )
1
, on
T
 Remarque : on peut également définir la pulsation de G(t) ( notée  ) et telle
2
que   2 . 
; on a alors G (t )  A  sin(.t   )
T
Théorème de Pythagore :
Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on
a : AB² + AC² = BC².
C
A
B
Si dans le triangle ABC, on a AB² + AC² = BC² alors, d’après la réciproque du
théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
 Trigonométrie dans le triangle rectangle :
Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a :
 BC est l’hypothénuse du triangle ABC rectangle en A.

 AB est le côté adjacent de l’angle B et le côté opposé de l’angle

 AC est le côté adjacent de l’angle C et le côté opposé de l’angle

 cos B 
et

et

adjacent
AB

hypothénuse BC

opposé
AC
sin B 

hypothénuse BC
 opposé
AC
tan B 

adjacent AB
et

C.

B.

cos C 
adjacent
AC

hypothénuse BC

opposé
AB
sin C 

hypothénuse BC

opposé
AB
tan C 

adjacent AC
On pourra retenir SOHCAHTOA (sinus :opposé sur hypothénuse ; cosinus :adjacent sur hypothénuse et
tangente :opposé sur adjacent)
 Equation de droite et proportionnalité
Dans un repère, l’équation de la droite D passant par les points A ( xA ;yA ) et B ( xB ; yB ) est : y  ax  b .
y y
 a est appelé le coefficient directeur de la droite D et on a : a  B A .
xB  x A
 b est appelé l’ordonnée à l’origine ( c’est la valeur de y quand x = 0 )
Remarque : Si b = 0 alors l’équation de D devient y  ax . Cette droite passe alors par l’origine du repère et il y
a proportionnalité entre x et y : Ce n’est que dans ce cas qu’on peut utiliser la règle de trois.