TP n°1 : Projectiles Introduction : Ce TP n°1 a pour but d`étudier la

TP n°1 : Projectiles
Introduction :
Ce TP n°1 a pour but d’étudier la trajectoire d’un projectile considéré comme un point
pesant une masse M.
On étudiera comment varie la trajectoire de ce point en fonction de sa vitesse initiale,
de son angle de départ par rapport à l’axe des x (horizontale) et de sa masse.
Nous utiliserons Excel pour illustrer nos résultats.
I) Retrouver les formules donnant la vitesse et le déplacement du projectile en fonction de :
- son origine (X0, Y0),
- sa vitesse initiale V0, faisant un angle A avec l’axe des x,
- soumis à l’accélération de la pesanteur Gy.
Au départ, en projetant les vecteurs selon les axes Ox et Oy, on pose :
ax = 0
et
ay = Gy = -9,81 m/s-2
En intégrant une première fois en fonction du temps, on obtient les équations de la vitesse :
V0x = V0.cos(A)
et
V0y = V0y.sin(A) + Gy.t
Et enfin celles de la trajectoire, en intégrant une deuxième fois en fonction du temps :
X1 = (V0.cos(A)).t + X0 (1)
Et
Y1 = (Gy.t2)/2 + (V0.sin(A)).t +Y0 (2)
On veut une équation de la forme X=f(Y) pour avoir la trajectoire du projectile, on pose alors :
X = X1-X0 et Y = Y1-Y0
On obtient alors dans (1) :
t = X/(V0.cos(A))
On remplace alors dans (2), et on trouve :
Y = Gy.X2/(V02.cos²(A)) + X.tg(A)
On a donc l’équation de la trajectoire d’un projectile.
Compte-rendu du TP n°1
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II) Exploration du fichier Excel :
Pour définir un nom de variable à une case => on sélectionne d’abord cette case puis
on fait « Insertion, Nom, Définir » et on donne le nom que l’on veut à cette case.
Cela permet de définir les variables une fois pour toutes dans toutes les feuilles de
calculs.
Vérification des formules des vitesses et des coordonnées en fonction du temps.
Vx = V0*COS(PI()*A/180) =>
on retrouve la formule de la partie I avec l’angle
changé en radian car Excel ne peut calculer que le sinus et le cosinus d’angles en radians.
Vy = Gy*A3+V0*SIN(PI()*A/180) =>
“A3” correspond à la colonne des temps.
Pour les coordonnées X et Y on a :
X = V0*COS(PI()*A/180)*A3+X0 => “Xo” étant l’origine du point selon l’axe Ox.
Y = 0,5*Gy*A3^2+V0*SIN(PI()*A/180)*A3+Y0
On retrouve bien les formules trouvées dans la partie1.
Une fois les différents paramètres rentrés, on obtient la trajectoire suivante.
On peut voir que la trajectoire du point
est une parabole.
Si l’on fait varier les paramètres, différents changements apparaissent sur le graphique.
- X0 et Y0 : déplace la position initiale du point.
- La vitesse initiale : raccourcie (si V0 diminue) ou allonge (si V0 augmente) la
distance parcourue par le point.
- L’angle A : si A augmente, le sommet de la parabole sera plus haut mais la
distance parcourue par le point diminue alors, et inversement.
- La masse M : on peut voir que la masse n’influe pas sur la trajectoire du point,
d’ailleurs M n’est pas présent dans l’équation de la trajectoire trouvée dans la
partie 1.
Compte-rendu du TP n°1
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III) Utilisation de la simulation pour atteindre un objectif :
Sur le graphique on peut placer un point de départ et un point d’arriver à atteindre.
(voir graphique plus loin)
On choisit tout d’abord les coordonnées du point de départ : j’ai pris X0= 10 et Y0=20
ainsi qu’un angle A=75°. Il faut donc trouver la vitesse initiale permettant d’aller au point
d’arriver.
X0
10
m
Y0
20
Masse
M
15
m
kg
Vitesse initiale
V0
33
Angle de lancement
Accélération
verticale
A
75
Gy
-9,81
Point de lancement
m/s
°
m/s²
On peut maintenant utiliser la formule trouver dans la partie I pour vérifier la valeur trouver
graphiquement.
On a la formule : Y = GX²/(2.V0².(cos(A))²) + X.tg(A)
On obtient alors : V0 = ((G.X²)/(2.cos²(A).(Y-X.tg(A)))0,5
Avec X = X1 – X0 et Y = Y1 – Y0
On trouve V0 = 32,87 m/s ≈ 33 m/s
On peut faire la même chose en fixant V0 et en cherchant l’angle A.
On garde X0 = 10 et Y0 = 20 avec V0 = 35 m/s. En faisant varier l’angle de la même façon que
précédemment on trouve un angle A de 76,7°.
Algébriquement on part de la formule : Y = Gy/(V02.cos(A)).X2 + X.tg(A)
On trouve alors une équation du second degré : (GX²/(2V0)).tg²(A) + X.tg(A) + ((GX²/2V0)-Y)
Le delta est supérieur a zéro donc 2 solutions sont possible, on trouve A1 = 76,77° comme
trouvé graphiquement et A2 = -5,199° marche aussi.
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IV) Détermination des points atteignables :
En faisant varier la vitesse, on garde les conditions initiales choisies dans la partie III).
Graphiquement, on peut voir que l’on ne peut pas balayer tout l’espace.
Algébriquement, on a :
(1) Y = GX²/(2V0.cos²(A)) + Xtg(A)
 (V0)² = GX²/(2(Y – Xtg(A)).cos²(A))
On a G<0 donc il faut que Y – Xtg(A)<0 pour avoir V²>0
On obtient alors : Y < X.tg(A)
De la même façon, en fixant V0 et en faisant varier l’angle A, on ne peut pas balayer tout
l’espace (analyse graphique).
Algébriquement, on part de la même formule (1) et on trouve :
(GX². /(2(V0)²).tg²(A) + X.tg(A) + [(GX²)/(2(V0)²) – Y] = 0
On trouve Δ = X² - 4.[(GX²/2V²0).((GX²/2V²0) – Y)]
Il faut que Δ>0 pour avoir les deux racines possibles.
=> X² - G²X4/V40 + 2YGX²/V²0 >0
 Y < GX²/2V²0 – V²0/2G => équation des point atteignables.
On divise par G qui est négatif, donc le sens de l’inégalité change.
V) Trajectoire d’un projectile lorsque la gravité varie :
Maintenant, on fait l’hypothèse que la gravité n’est plus constante mais varie de la
façon suivante : Gy = Gyc + Gyv.cos(kt)
avec Gyc composante continue
Gyv composante variable
et k la pulsation
En intégrant, on peut voir que la composante en X de la vitesse et du déplacement ne change
pas.
Par contre suivant Oy, on trouve :
Vy = Gyc.t + Gyv.sin(kt)/k + V0.sin(A)
et enfin
Y = Gyc.t²/2 – Gyv.cos(kt)/k² + V0.sin(A).t
Les deux équations, selon Ox et Oy, du déplacement sont alors :
Y1 = Gyc.t²/2 – Gyv.cos(kt)/k² + V0.sin(A).t + Y0 et
X1 = V0.cos(A).t + X0
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On prendra comme constante Gyc = 0,1 et Gyv = -50 et la pulsation k = 100 000
Dans ce cas là, on obtient la trajectoire décrite par le graphique suivant :
CONCLUSION :
Ce TP nous a permis d’apprendre à simuler la trajectoire d’un point solide dans
l’espace en utilisant Excel.
Nous avons pu voir que la masse du solide n’intervient pas dans la trajectoire.
Mais que la vitesse initiale et l’angle initial nous ont permis de définir des plans
délimités par des équations où peut être projeté le point solide. Le solide, à partir d’un point
d’origine donnée, d’un angle initial ou d’une vitesse initiale donnés, ne peut donc pas aller
partout dans le plan étudié.
Et enfin, nous avons fait de même si la gravité n’était pas constante, mais les
applications sur terre de ce cas là n’existant pas, on ne peut pas faire de conclusion pertinente
à ce sujet.
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