devoir surveillé n°2

MPSI 2 - Fénelon - maths - année 2014 - 2015
DEVOIR SURVEILLÉ N°2
I) Révision DS1.
1) Résoudre dans R2 le système de paramètre m :
mx  4my  4
 Sm  
2
 x  m y  2m
a) En écrivant des systèmes équivalents et en discutant suivant les valeurs de m (sur 5).
b) En utilisant les formules de Cramer (et en discutant tout autant !) (sur 4).
REM : on attend, au moins pour le a) une écriture correcte de l’ensemble des solutions
Sm , partie de R2.
x3
x 1
2
2) Résoudre dans R l’inéquation :
en moins d’une demi-page et sans
x 1
x2
utiliser de discriminant (sur 4).
3) Démonstration par analyse et synthèse.
Soit f une application de R dans R , a et b deux réels distincts fixés ; montrer qu'il existe
un unique couple (g,h) de fonctions de R dans R tel que f=g+h, avec g affine et
h(a)=h(b)=0 (sur 5) (faire une figure avec la courbe de f (quelconque) et la « courbe »
de la fonction g associée (sur 1)).
II) Reprenons l’algorithme d’exponentiation de Chandah-Sutra (3ème siècle avant
J.C.) vu dans le DM 2.
Soit a un réel donné. On définit une suite  un  par u1  a et pour tout naturel n  1 :
u   un 
.
1  2 n
u

a
.
u
 2 n 1
2n
On sait donc que un  a n .
2
1) Par combien de multiplications au total obtient-on a100 par cette méthode (sur 2) ?
2) Soit N n le nombre de multiplications nécessaires pour obtenir un par cette méthode ;
on a donc N1  0 . Écrire les relations de récurrence similaires à (1) permettant
d’obtenir les valeurs successives des nombres N n (sur 3).
3) Calculer N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 , N8 (sur 2).
4) Que vaut N 2n (sur 2) ?
5) On pose, pour x>0 log 2 x 
ln x
; que vaut log 2  2n  (sur 1) ?
ln 2
6) Démontrer que pour n  1, Nn  log2  n  (sur 4) .
7) On pose vn  N 2n 1 ; vérifier que pour n  2 , vn  vn 1  2 (sur 2) ; en déduire la
valeur de vn (sur 2).
REM : on peut montrer que 1 
Nn
 2 ; on dit que cet algorithme est de complexité
log 2 n
« logarithmique » .
III) Suite de la saga de la suite de Sylvester, en rapport avec les nombres premiers.
Soit pn le n-ième nombre premier ( p1  2, p2  3,etc) .
1) Montrer (sans récurrence) que pn1  p1... pn  1 (sur 5) .
2) Rappelons la définition de la suite de Sylvester vue dans le DM 2 (avec un décalage
d’une unité dans les indices par rapport à la définition donnée dans ce DM ) :
s1  2
. Quelle inégalité peut-on conjecturer entre pn et sn ? La démontrer

sn1  s1...sn  1
par récurrence (sur 3). Calculer par exemple p4 et s4 (sur 1).
REM : comme on avait démontré sn  22
n1
dans le DM 2, on en déduit donc que
n1
pn  22 .
3) Soit N un entier > 1 ; on note   N  le nombre de nombres premiers inférieurs ou
égaux à N ; montrer que   N   E  log2  log2 N    1 .
   n (sur 1 +5).
Indication : commencer par vérifier que  22
n1
IV ) Formule du binôme et somme double.
 n  j 
Calculer     ai b j i c n  j (sur 4).
0i  j  n  j  i 
V) Coefficients binomiaux :
 n  1  n 
 n  n  1 
( p  1) 

  p  

1) Montrer, pour 2  p  n :
 p  1 p  1
 p  p  2  (sur 2) .




1
p  1
1 


 n  p 1   n 1   n  
2) En déduire, pour 2  p  n :  
 
 
  (sur 2) et une
 p
  p  1   p  1 
q
1
expression simple de 
, pour 2  p  q (sur 2).
n p  n 
 
 p
3) En déduire la valeur de la somme totale des inverses des coefficients binomiaux de la
q
1
p-ième colonne du triangle de Pascal, c'est-à-dire le nombre : lim 
, que l’on
q 
n p  n 
 
 p
notera

1
 n 
(sur 1 + 2).
n p
 
 p
4) En déduire pour p  2 la valeur de la somme totale des inverses des produits de p
entiers >0 consécutifs, soit le nombre

1
1
1
1
Sp 


 .....  
.
1.. p 2...( p  1) 3...( p  2)
n  0 ( n  1)..( n  p )
n  p
Indication : (n  1)...(n  p)  p !
 (sur 2) .
p

1
1
1


 ....... (sur 1) ?
Par exemple, que vaut
1 2 2  3 3  4
5) Que pensez vous du résultat obtenu dans 4) dans le cas p  1 (sur 1) ?
VI) Trigonométrie et inégalités.
1) Démontrer que si n  2 alors pour tout réel x, cos n x  sin n x  1 (sur 3) . Est-ce vrai
pour n=1 (sur 1) ?
2) Montrer pour tout réel x : |sin(x + y)| ≤ |sin x| + |sin y| (sur 2) .
3) Montrer pour tout entier naturel n et tout réel x de 0,   : sin nx  n sin x (sur 2) .
4) Application : montrer que pour tout a de 0,   , sin a  a .
Indication : introduire un entier naturel non nul n , poser x 
a
et … (sur 4).
n