Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques (rappels)
1 ) Fonctions cos et sin
On enroule un fil vertical
fixé au point E autour d’un cercle de rayon 1.
Soit a un nombre réel quelconque. Le point A du fil de
coordonnées (1 ; a ) vient se placer en M.
Les coordonnées de M sont alors cos (a) et sin (a). Ces
nombres peuvent être de signe + ou -.
Figure
1 2 3 4
Signe de cos a
Signe de sin a
On a donc évidemment pour tout réel a :  1  cos a  1 et  1  sin a  1 .
Le périmètre du cercle est 2 car c’est 2 R  2 .1 donc tous les
points A d’ordonnées x , x  2 , x  4 , x  6 … …, mais aussi
x  2 , x  4 … …viennent s’enrouler sur le même point du cercle.
Exemples ci-contre :
avec le point R et x  2 ou avec le point P et x   ou x   .
avec le point en bas et x  3 / 2 ou x   / 2 .
On en déduit les formules : pour tout nombre réel x :
(1)
cos x  cos x  2  et sin x  sin x  2  .
On a aussi, en répétant cette formule :
pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif (c'est-à-dire : de signe
+ ou -) k : cos x  cos x  k.2  et sin x  sin x  k.2  .
On traduit (1) en disant que ces fonctions sont périodiques, de période 2 .
Donner le tableau de variations (sur [   ;  ] à cause de (1) ) et la courbe de la fonction cosinus
x
cos’ x = -sin x
cos

Idem avec la fonction sin.
x

 / 2
sin’ x =
cos x
sin

0
0
 /2

Remarque : la période de la fonction f : x  cos 3x est 2 /3 (oscillations 3 fois plus rapides)
car
Correction :
Une évidence lisible ci-contre : on a pour tout x : cos 2 x  sin 2 x  1.
Exercice : montrer que pour 0  x   / 2 le cosinus et le sinus de la
longueur x de l’arc EM sont aussi le cosinus et le sinus de l’angle
(orienté) EOM .
2 ) Mesures d’angles
Remplir le tableau de proportionnalité suivant :
Longueur de l’arc EM = mesure en radians de EOM  / 6  / 4  / 3  / 2  2
Angle EOM en degrés
Tout angle a une unique mesure  en radians dans ]   ;  ] : sa mesure principale. Il a par
ailleurs une infinité d’autres mesures : tous les nombres du type   k .(2 ) où k est un entier
relatif. Exemple :  / 6 , 13 / 6 et  11 / 6 sont trois mesures du même angle.
On peut montrer à l’aide du théorème de Pythagore les valeurs connues suivantes.
On voit dans l’ordre :
Longueur de
0
 /6  /4  /3
l’arc
(ou
radians)
4
3
2
1
0
,
,
,
,
.
1
Cos (  )
1
3
2
2
2
2
2
2
2
Il y a un centre de symétrie dans ce
2
2
tableau…car pour tout x ,
0
Sin (  )
1
2
3
sin  / 2  x  cos x .
2
2
2
Deux dessins « différents » :
32 valeurs remarquables
a
cos(a)
sin(a)
Point
x
cos x
sin x
A
 /2 x
 /2 x
 /2
0
1
14 formules des arcs associés
 x
 x
 / 2  x
 / 2  x
x