1. Fonction logarithme népérien

FONCTIONS USUELLES
1. Fonction logarithme népérien :
1.1. Présentation :
On cherche à résoudre l’équation fonctionnelle suivante notée (E) :
f ( xy)  f ( x)  f ( y ) pour tous réels x et y strictement positifs.
On cherche l’ensemble des fonctions f définies sur lR*+, dérivables sur lR*+et satisfaisant la relation
(E).
Théorème :
Il existe une unique solution f de (E) vérifiant, f (1)  0 , f (1)  1 et f ( x) 
0, . On appelle logarithme népérien cette fonction f. On la note ln.
1
pour tout x dans
x
1.2. Représentation graphique, limites, dérivées et signe :

On a vu que ln x  
1
pour tout x strictement positif, donc le logarithme népérien est une fonction
x
croissante sur lR*+.
Théorème :
Soit u une fonction définie sur un domaine D de lR, strictement positive sur ce domaine et dérivable,

on a alors ln u ( x)  
u ( x)
pour tout x dans D.
u ( x)
Exemple : f(x) = ln (x2 + x + 1)
Théorème :
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0, avec les propriétés suivantes :
 Ln x :
 < 0 si x  ] 0; 1 [
 = 0 si x = 1
 0 si x  ] 1 ; +∞ [
 lim x ln x  
 lim
x 0 
ln x  
Le graphe de la fonction logarithme népérien a l’allure suivante :
Chapitre 5 : ANALYSE
1
1.3. Propriétés algébriques :
On a les propriétés fondamentales suivantes :
 ln xy  ln x  ln y pour tous réels x et y strictement positifs.
1
  ln x pour tout réel x strictement positif.
x
 ln x n  n ln x pour tout réel x strictement positif et tout entier n .
 ln
1.4. Exemple d’utilisation : le logarithme décimal
log x 
ln x
ln 10
pour tout réel x strictement positif.
On a log 10 p 
ln 10 p
p ln 10

p
ln 10
ln 10
pour tout entier p
1.5. Croissances comparées :
Le but de cette partie est de montrer que la croissance de la fonction logarithme népérien est moins
importante que celle des fonctions puissances.
Limites importantes (à connaître par cœur) :
ln( 1  x)
1
x
ln x
 lim x  n  0 pour tout entier n  1.
x
 lim x0 x n ln x  0 pour tout entier n  1.
 lim x0
 Si P est un polynôme on a toujours lim x
ln x
0
P( x)
(à l’infini, les polynômes l’emportent toujours sur le logarithme)
 lim
x 0 
ln x
 
x
2. Fonction exponentielle :
2.1. Présentation :
On cherche à résoudre l’équation fonctionnelle suivante notée (E) :
f ( x  y )  f ( x) f ( y ) pour tous réels x et y .
On cherche l’ensemble des fonctions f définies sur lR, dérivables sur lR et satisfaisant la relation (E).
Théorème :
Il existe une unique solution f de (E) vérifiant, f (0)  1 , f (0)  1 et f ( x)  f ( x) pour tout x dans
lR. On appelle exponentielle cette fonction f. Pour tout réel x, f ( x)  e x .
2.2. Représentation graphique, limites, dérivées et signe :
   e
On a vu que e x
x
pour tout réel x
Chapitre 5 : ANALYSE
2
Théorème :
Soit u une fonction définie sur un domaine D de lR, dérivable sur ce domaine, on a alors
e   u( x)e
u ( x)
u ( x)
pour tout x dans D.
Prouvons maintenant que la fonction exponentielle f est strictement positive sur lR :
Supposons qu’il existe un réel x 0 tel que e
x0
 0 . On a alors e
x0
e
x0 x0

2 2
 x20
  e

2

 .


2
 x0 
Donc on obtient que  e 2   0 ce qui est absurde (un carré ne peut être strictement négatif).
 
 
Donc un tel x 0 ne peut exister et pour tout réel x , e x  0 .
On vient de prouver que la fonction est positive. Afin de prouver la stricte positivité, il faut
s’intéresser au graphe de f.
Comme f est dérivable et que f   f , on en déduit que la fonction exponentielle est croissante.
Avec e 0  1 . On peut voir que f admet une limite lorsque x tend vers   . Notons la l .
Théorème :
 lim x  e x  
 lim x e x  0 (Ceci donne la stricte positivité de l’exponentielle : e x  0 pour tout réel x )
Le graphe de la fonction exponentielle est le suivant :
2.3. Propriétés algébriques :
On a les propriétés fondamentales suivantes :
 e x  y  e x e y pour tous réels x et y .
 e x 
1
pour tout réel x .
ex
2.4. Croissances comparées :
Le but de cette partie est de montrer que la croissance de la fonction exponentielle est plus
importante que celle des fonctions puissances.
La fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n’importe quelle fonction puissance.
Chapitre 5 : ANALYSE
3
Théorème :
 lim x
 lim x0
ex
  pour tout entier positif n .
xn
x n e  x  0 pour tout entier positif n .
 Si P est un polynôme, on a toujours lim x
ex
 
P( x)
(à l’infini, l’exponentielle l’emporte toujours sur les polynômes).
La fonction exponentielle admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées :
lim x
ex
 
x
1) Limite importante (à connaître par cœur) :
lim x0
ex 1
1
x
2) Lien entre les fonctions exponentielles et les fonctions puissances :
L’exponentielle généralise la notion de puissance. En effet, jusqu’à présent, étant donné un nombre x et
un entier n, le nombre x n = x  x  ....  x (n fois).
Nous pouvons désormais définir la puissance d’un nombre positif par un exposant réel grâce à la
remarque suivante :
Si a > 0
a x  e x ln a
Les propriétés connues sur les puissances entières peuvent se transposer aux puissances réelles :

a 
x y
 a x y
 a xy
 a xa y
1
a
x
 a x   
Chapitre 5 : ANALYSE
4
Exercices d’applications sur les fonctions usuelles
Exercice 1 : Donner les domaines de définitions des fonctions suivantes et calculer leur dérivée,
( x  1)
f ( x)  ln( 1  x) ; g ( x) 
;
ln( 1  x)
x ln( 1  x 2 )
h( x ) 
1 x2
Exercice 2 : Calculer les limites suivantes,
lim x1
ln( 1  x)
x 1
lim x 
ln( 1  x)
x 1
lim x 1 ln( 1  x)
lim x ln( 1  x)
Exercice 3 : Etude de la fonction f ( x)  x ln x  x
Domaine de définition et les limites de f aux bornes du domaine de définition.
Calculer la dérivée de f et l’équation de la tangente à f au point x = 2.
Donner le tableau de variations et graphe de la fonction.
Exercice 4 : Etude de la fonction f ( x)  x  1 
ln x
x
Domaine de définition et les limites de f aux bornes du domaine de définition.
Calculer la dérivée de f. Donner le tableau de variations.
Prouver que y = x + 1 est asymptote à la courbe en +∞ et tracer le graphe de la fonction.
Exercice 5 : Donner les domaines de définition des fonctions suivantes,
f ( x)  e
x 1
f ( x)  e
x
x 1
x x 1
f ( x) 
e
x 1
1
f ( x)  e x
2
Exercice 6 : Calculer les limites suivantes,
lim x0
e2x  1
x
lim x  e  x
lim
x  
e

1
x
lim x0
e2x 1
2x
lim x  ( x 4  3x 2  1)e x
lim x e  x
lim x0 e
lim x 
x x
e
x 1
1
x
x 0
Exercice 7 : Etude des fonctions f ( x)  e  x  1
x
et
g ( x)  e x  x  1
Domaine de définition et les limites aux bornes du domaine de définition.
Calculer les dérivées. Donner les tableaux de variations.
Prouver que y = x + 1 est asymptote à la courbe de f en -∞ et tracer le graphe de la fonction.
Prouver que y = -x + 1 est asymptote à la courbe de g en -∞ et tracer le graphe de la fonction.
Chapitre 5 : ANALYSE
5
Problème
e e
f ( x)  shx 
2
x
Considérons les fonctions
Partie I
x
e x  ex
g ( x)  chx 
2
et
(10 points)
1) Donner le domaine de définition de f .
2) Calculer les limites de f aux bornes de l’intervalle de définition.
3) Prouver que f ( x )  g ( x ) et que g ( x)  f ( x)
4) Dresser le tableau de variation de f ainsi que son graphe.
5)
f est elle bijective ? (si oui pourquoi).
6) Déterminer f (IR ) .
7) Vérifier que :
7.1.
chx 2  shx 2  1 .
7.2.
sh 2 x  2( shx )(chx)
7.3.
ch2 x  (chx) 2  shx 
Partie II
2
(10 points)
Dans la suite du problème, on va déterminer la fonction réciproque f
1
de la fonction f définie dans la
partie I.
e2x 1
2e x
En posant y  f (x) et X  e x , prouver que la relation établie à la question précédente peut se mettre
Etablir que f ( x) 
sous la forme suivante :
X 2  2 yX  1  0
1) Résoudre l’équation du second degré de la question précédente dont l’inconnue est X ( y est vu
ici comme un simple nombre) et donner les deux solutions obtenues (qui sont deux fonctions de y ).
En argumentant votre choix, dite pourquoi une des deux solutions ne convient pas (Penser que X  e x
et aux conséquences que cela peut avoir sur le signe de l’inconnue X ).
2) Prouver maintenant que l’expression de la fonction réciproque de f est
f
1
( x)  ln( x  x 2  1)
Prouver que ( f
1
)( x) 
1
(Penser aux méthodes de la quantité conjuguée).
x 1
1
Vérifier que ( f 1 )( y ) 
avec y  f (x)
f ( x)
2
(Question difficile !!!)
(Indication : Utiliser la relation établie dans la partie I question 7-1)
Chapitre 5 : ANALYSE
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