TS. fonctions logarithmes

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Chapitre 4 : Fonctions logarithmes
I.
Logarithme népérien d’un nombre
Propriété : pour tout nombre réel a strictement positif, il existe un réel unique α tel que eα = a .
On appelle ce nombre : le logarithme népérien de a . On le note ln a .
preuve :
Ex :
Conséquences :
.
ln 1 = 0
et
ln e = 1
. pour tout nombre réel a strictement positif, eln a = a
. pour tout nombre réel a ,
ln ( ea ) = a
Propriété : pour tous nombres réels a et b strictement positifs : ln ab = ln a + ln b
preuve :
Conséquences :
. pour tous nombres réels
a et b de l’intervalle ] 0 ; +∞
ln
a
= ln a – ln b
b
1
= – ln a
et
a
et tout nombre rationnel r :
. pour tout nombre réel
a de l’intervalle ] 0 ; +∞
[:
. pour tout nombre réel
a de l’intervalle ] 0 ; +∞
[
Ex :
[:
ln
1
ln a
2
ln ar = r ln a
ln
a =
TS
preuve :
Remarque :
II. Fonction logarithme népérien
Définition : on appelle fonction logarithme népérien la fonction, notée ln , qui à tout x de l’intervalle
] 0 ; +∞ [ associe ln x .
Remarque : on écrit ln x au lieu de ln(x) en omettant les parenthèses lorsqu’il n’y a pas d’équivoque .
Propriété : la fonction ln est dérivable sur l’intervalle ] 0 ; +∞
[
preuve :
ln ( x + 1)
ln x
=1
et
lim
=1
x →1
x →0
x −1
x
. Pour tout réel h assez proche de zéro, on a :
ln ( 1 + h ) ≃ h
Propriété : lim
preuve :
TS
Propriété :
lim ln x = + ∞
lim ln x = − ∞
x →+∞
x →0
Remarques :
Conséquences :
Ex :
Fonction ln u :
soit u une fonction définie sur un intervalle I . Si u est dérivable, strictement positive sur I
alors la fonction ln u est dérivable sur I et :
u'
( ln u ) ' =
u
Ex :
Soit f définie sur R par f (x) = ln ( x2 + 1 )
f est dérivable sur R et on a :
f ’(x) =
2x
x2 +1
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III. Comportements asymptotiques comparés
Propriété :
lim
x →+∞
ln x
=0
x
lim x.ln x = 0
x →0
preuve :
preuve :
Conséquences :
Pour tout nombre entier n strictement positif :
lim
x →+∞
Remarques :
ln x
=0
xn
lim x n .ln x = 0
x →0
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IV. Fonctions exponentielles de base a
Définition : pour tout nombre réel a strictement positif et tout nombre réel b , on pose :
Propriété :
Définition : soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1 .
On définit sur R la fonction
x ֏ ax
On l’appelle fonction exponentielle de base a .
par
a x = e x ln a
a b = e b ln a
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V. Fonction logarithme décimal
Définition : on appelle fonction logarithme décimal la fonction, notée log , définie sur l’intervalle ] 0 ; +∞
par :
log x =
Conséquences :
preuve :
Propriété :
preuve :
ln x
ln 10
[