Les Inéquations

Les Inéquations
1.Rappel : les équations
 Définition
Une équation est une égalité qui renferme une inconnue représentée par une
lettre.
 Résolution
1° On élimine les parenthèses, s’il y en a ;
2° On réduit au même dénominateur, s’il y a des coefficients fractionnaires ;
on chasse les dénominateurs communs dans les deux membres ;
3° On isole dans un membre tous les termes qui contiennent l’inconnue et
dans l’autre membre tous les autres termes ;
4° On effectue les calculs dans chaque membre ;
5° On détermine la (les) solution(s) en isolant l’inconnue ;
6° On vérifie la plausibilité de la (des) solution(s) trouvée(s).
 Equations particulières
0x = 0 est une …………………………….., elle est vérifiée quelle que soit la
valeur attribuée à l’inconnue. Tous les réels conviennent.
On notera : S =
0x = r (où r ≠ 0) est une …………………………, elle n’est JAMAIS vérifiée
quelle que soit la valeur attribuée à l’inconnue. Aucun réel ne
convient. On notera : S = {}.
 Exercices
 2x – 5 = 1 + x

2 x
x
3
 (x – 5) – (2x -6) = 3 + (2 – x) +
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3
2
-1Rensonnet Céline 2006
 5(x - 3) = 5x – 5
 (x + 3)2 = x2 – 3x
2.Les inégalités
 Notion
L’écriture
a<b
ab
a>b
ab
a<x<b
axb
a<x  b
a  x<b
On note
a
a
a
a
-
Signifie que
a est strictement inférieur à b
a est inférieur à b
soit a est plus petit que b, soit a est égal à b
a est strictement supérieur à b
a est supérieur à b
soit a est plus grand que b, soit a est égal à b
x est strictement supérieur à a et strictement inférieur à
b
x est supérieur à a et inférieur à b
x est strictement supérieur à a et inférieur à b
x est supérieur à a et strictement inférieur à b
pour
a0
On lit aussi
a est strictement négatif
a<0
a est négatif
a0
a est strictement positif
a>0
a est positif
0
+
0
+
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-2Rensonnet Céline 2006
 Activité 1
Voici une série d’inégalités :
x > 3, x < 4, x  0, x  -1, 1< x < 3, -5 > x > -6, -10  x < 100,
0 < x  5, -5  x  5.
Dans chaque cas, trouve toutes les solutions possibles pour x. Ensuite,
représente-les sur une droite de nombres et essaye de trouver la notation.
 Intervalles et représentations graphiques de l’ensemble
solution
Inégalité
a<b
Notation
Représentation
ab
a>b
ab
a<x<b
axb
a<x  b
a  x<b
La notation d’intervalles permet d’exprimer un ensemble de réels compris entre
deux nombres différents. Les crochets indiquent l’appartenance ou non des
nombres qui bornent l’intervalle.
Chacun de ces intervalles contient une infinité de réels.
Par convention, la borne de gauche est strictement plus petite que la borne de
droite. (Exemple : [1 ; 4] a du sens alors que [4 ; 1] n’en a pas).
Représentation : sur la droite des nombres, tout ce qui est solution de l’inégalité
se dessine en vert. Les bornes se marquent en rouge si elles n’appartiennent pas
à l’ensemble solution et en vert si elles appartiennent.
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 Activité 2
Observons l’affichage lumineux de deux cages d’ascenseur d’un hôpital.
Le niveau 1 est plus bas que le niveau 3 :
Si les ascenseurs montent de 2 étages, l’ordre des étages est ………………….
Le niveau …. est ………………………………………. que le niveau …. :
……………………………………………..
……………………………………………..
Si les ascenseurs descendent de 4 étage, l’ordre des étages est ……………….
Le niveau …. est ………………………………………….que le niveau …. :
……………………………………………..
……………………………………………..
En multipliant par 2 le nombre d’étages, l’ordre des étages est ……………….
Le niveau …. est ………………………………………….que le niveau …. :
……………………………………………..
……………………………………………..
En multipliant par -1 le nombre d’étages, l’ordre des étages est ……………….
Le niveau …. est ………………………………………….que le niveau …. :
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-4Rensonnet Céline 2006
……………………………………………..
……………………………………………..
Les observations qui précèdent peuvent se généraliser.
 Propriétés
Si on ajoute ou si on soustrait un même réel aux deux membres d’une
inégalité, on obtient une inégalité de ………….sens.
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité par un
même réel ………………….., on obtient une inégalité de même sens.
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité
par un même réel ………………….., on obtient une inégalité de sens
contraire.
 Exercices
1. Complète le tableau suivant :
Ensemble des réels x tel
que
x<7
[2 ; 6 [
2. Si x, y et z sont des réels strictement positifs, indique parmi les
propositions suivantes celles qui sont vraies et justifie pourquoi les autres
sont fausses :
 Si x < y, alors x – 5 < y – 5
 Si x < y, alors
1 1

x y
 Si x  y, alors – x  - y
 Si x < y, alors
x y

z z
 Si x > y, alors x . (– z) < y . ( - z)
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3. Les inéquations
 Activité 1 : Problèmes
 Deux entreprises de transport proposent les tarifs suivants :
110 € au départ et 1,75 € du kilomètre
125 € au départ et 1,50 € du kilomètre.
A partir de quel kilométrage, le tarif du second transporteur est-il le
plus avantageux ?
 La composition et l’impression des mille premiers exemplaires d’un
livre coûtent 6500 €. Chaque centaine d’exemplaires coûte 225 €.
Combien faut – il imprimer d’exemplaires pour que le prix de revient
d’un livre soit inférieur à 4 € ?
 Définition
Une inéquation est une inégalité qui renferme une (des) inconnue(s)
Exemples : 2x + 3 < 7
3
x6
4
………………………
………………………
 Résolution
Résoudre une inéquation c’est chercher les valeurs de l’inconnue qui
vérifient l’inégalité.
L’ensemble solution d’une inéquation est l’ensemble des valeurs prises par
l’inconnue et qui vérifie l’inégalité.
Exemple :
3x + 2 > 2x – 3
3x – 2x > -3 -2
x > -5
S = ] – 5 ; + [
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-6Rensonnet Céline 2006
L’inéquation étant une inégalité, la résolution de ces inéquations respecte les
principes rencontrés dans les inégalités.
Si on ajoute ou si on soustrait un même réel aux deux membres d’une
inégalité, on ne modifie pas cette inégalité.
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité par un
même réel positif, on obtient une inégalité de même sens.
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité
par un même réel négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.
 Exercice :
Résous les inéquations suivantes, détermine l’ensemble solution et la
représentation :
1. 2x  5
2. -2 x < 5
3. x -6  9
4. x + 4 > -8
5. 9 + x < 2
6. -5  -2 + x
7. – x < 7
8. 3x < 6
9. -2x < -8
10. 5x > 9
 Cas particulier
Lors de résolution d’inéquations, il nous arrivera de tomber sur des solutions
particulières comme pour les équations : il s’agit des inéquations impossibles et
des inéquations indéterminées.
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-7Rensonnet Céline 2006
Complète les définitions en te souvenant des définitions pour les équations et
ensuite, relie les exemples à leur définition.
0x > 3
0x < 3
0x < 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sont des inéquations
impossibles, elles ne sont
jamais vérifiées, quelle que
soit la valeur attribuée à
l’inconnue.
Aucun réel ne convient. On
notera : S = { }
0x > -5
0x  0
0x < -6
0x > 0
.
Sont des inéquations
indéterminées, elles sont
vérifiées quelle que soit la
valeur attribuée à l’inconnue.
Tous les réels conviennent. On
notera : S =
0x  0
 En pratique
1° On élimine les parenthèses, s’il y en a ;
2° On réduit au même dénominateur, s’il y a des coefficients fractionnaires ;
on chasse les dénominateurs communs dans les deux membres ;
3° On isole dans un membre tous les termes qui contiennent l’inconnue et
dans l’autre membre tous les autres termes ;
4° On effectue les calculs dans chaque membre ;
5° On détermine la (les) solution(s) en isolant l’inconnue ;
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-8Rensonnet Céline 2006
ATTENTION au signe du réel par lequel on multiplie ou on
divise. Le sens de l’inégalité est inversé uniquement si on multiplie ou on
divise par un même réel négatif non nul.
6° On écrit la solution sous forme d’intervalles et on la représente sur une
droite graduée.
7° On vérifie la plausibilité de la (des) solution(s) trouvée(s).
 Exercices
1. Résous les inéquations suivantes :
2x – 7 > 8
2 + 4x  -7
5 – 2x < 14
7 – 5x > 8
14 – x  -9
2. Résous les inéquations suivantes :
-4x > -2
-4 + x > -2
7 – 5x  8
x  3 5x  6 x


4
2
3
1 x x  2

 x
2
3
3  2x 1  x
2x

 4
2
3
3
 A quoi cela va-t-il servir ?
La technique de résolution d’inéquations du premier degré à une inconnue
permet de résoudre des problèmes de la vie courante.
 Exemples de résolution de problème
Deux sociétés de lavage de vitres pratiquent les prix suivants :
La société Karoolis demande 8, 5€ de l’heure et un forfait de 14, 5€
pour les frais d’assurance, de transport,…
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-9Rensonnet Céline 2006
La société Vitrasec propose 8,75€ de l’heure et un forfait fixe de
13,5€.
Après combien d’heures le prix proposé par Karoolis est plus intéressant que
celui par Vitrasec ?
Résolution :
1° On désigne l’inconnue : ……………………………………………………….
2° On exprime en fonction de x :
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
3° On compare à l’aide d’une inéquation qui correspond à la question :
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
4°On résout l’inéquation :
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
5° On vérifie la plausibilité du résultat trouvé :
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
6° On interprète le résultat :
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
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- 10 Rensonnet Céline 2006
 Exercices
1. Nicolas désire s’inscrire à un club vidéo. Après avoir pris ses
renseignements, il dispose des tarifs de deux clubs.
Club 1 : l’abonnement coûte 30€ et la location de chaque cassette 4€.
Club 2 : l’abonnement coûte 40€ et la location de chaque cassette 3€.
A quel club va-t-il s’inscrire ? Aide-le à faire son choix.
2. Une agence de location de voitures propose deux tarifs pour une location à la
journée.
Tarif 1 : 90€ par jour avec kilométrage illimité.
Tarif 2 : 70€ par jour et 0,4€ par kilomètre parcouru.
Si on loue la voiture une journée, détermine pour quel kilométrage (nombre
entier de km) le prix du tarif 2 est moins élevé que le prix du tarif 1.
3. Les affirmations suivantes sont vraies ou fausses ? Justifie.
a) Le triple d’un nombre est inférieur à son quadruple.
b) Le triple d’un nombre est inférieur à son double.
4. La somme de trois nombres naturels consécutifs est inférieure ou égale à 15.
Détermine les valeurs possibles de ces nombres.
5. Sophie aimerait offrir à son frère un baladeur à 87,5 € pour son anniversaire.
Combien doit-elle économiser par semaine sachant que l’anniversaire de son
frère est dans 8 semaines et qu’elle dispose déjà d’un capital de 28,75€ ?
6. Un père et un fils ont respectivement 48 et 19 ans. Dans combien d’années la
somme de leur âge sera-t-elle supérieure à 70 ans.
7. Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais s’élèvent à 20€ pour
chacun des 450 premiers exemplaires et à 1€ pour chacun des suivants. Quel
est le nombre minimum d’exemplaires à vendre à 12€ l’exemplaire, avant de
réaliser des bénéfices ?
8. Isabelle possède un petit capital de 80€ qu’elle destine à l’achat d’une guitare
de 160€. Elle estime pouvoir épargner 2€ par semaine sur son argent de
poche. Pendant combien de semaines au moins doit-elle épargner avant de
pouvoir s’offrir cette guitare ?
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3ème techniques
- 11 Rensonnet Céline 2006