Chapitre 2

Lycée Jules Verne 2016-2017
Seconde
I.
Chapitre 2 - Résolution
d’équations et d’inéquations
A. Heliard
Equations du premier degré
Ce sont des équations de degré 1, c’est à dire avec une puissance de x égale à 1.
Principe de la méthode.
On met les x d’un coté de l’égalité et le reste de l’autre coté.
Exemples
3x + 3 =2x − 4
x+3=−4
x=−7
−2x
−3
S = {−7}
II.
1.
4x + 2 = − x − 3
5x + 2 = − 3
5x = − 5
x=−1
S = {−1}
+x
−2
÷5
Equations du second degré
Equations du type X 2 = a
Principe de la méthode.
• Si a < 0, alors l’équation n’a pas de solutions, on écrit S = ∅.
√
√
√ √
• SI a > 0, alors l’équation a deux solutions : X = a et X = − a, on écrit S = {− a; a} .
Exemples
x2 = 9
⇔ x = 3 ou x = −3
S = {−3; 3}
2.
(2x + 1)2 = 4
⇔ 2x + 1 = 2 ou 2x + 1 = −2
3
1
⇔ x = ou x = −
2
2
S = {− 23 ; 12 }
Equations produit nul
Proposition (Règle du produit nul).
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Autrement dit , A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
Principe de la méthode.
Pour une équation du second degré autre que du type X 2 = a, on commence par mettre tous les termes du côté
gauche du signe =, de sorte d’avoir "= 0", puis on factorise et on applique la règle du produit nul.
Exemples
1
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Chapitre 2 - Résolution
d’équations et d’inéquations
(x + 1)(3x − 3) = 0
⇔ x + 1 = 0 ou 3x − 3 = 0
⇔ x = −1 ou x = 1
A. Heliard
(2x + 4)2 = (x − 3)2
⇔ (2x + 4)2 − (x − 3)2 = 0
⇔ (x + 7)(3x + 1) = 0
⇔ x + 7 = 0 ou 3x + 1 = 0
1
⇔ x = −7 ou x = −
3
S = {−7; − 31 }
S = {−1; 1}
III.
Equations quotient
Principe de la méthode.
On met tout au même dénominateur de sorte d’avoir une fraction égale à 0 et on résout "numérateur = 0" avec
"dénominateur 6= 0".
Exemple
x+1
=0
3x − 3
⇔ x + 1 = 0 et 3x − 3 6= 0
⇔ x = −1 et x 6= 1
Or quand x = −1, on a x 6= 1 donc : S = {−1}
IV.
Inéquations du premier degré
Principe de la méthode.
Les étapes sont les mêmes que pour les équations du premier degré, mais attention il y a des règles à respecter :
• ajouter ou soustraire une nombre de chaque côté de l’inégalité ne change rien au sens de l’inégalité.
• multiplier ou diviser par un nombre strictement positif ne change pas le sens de l’inégalité
• multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité
Exemples
3x + 3 <2x − 4
x+3<−4
x<−7
−2x
−3
S =] − ∞; −7[
V.
1.
−x − 3 64x + 2
−5x − 3 62
−5x 65
x>−1
S = [−1; +∞[
−4x
+3
÷−5
Résolution graphique d’inéquations
Inéquations du type f (x) < k
Lorsque l’on a un graphique, on peut l’utiliser pour résoudre certaines inéquations, attention cependant il ne s’agit que d’une
résolution approchée.
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Chapitre 2 - Résolution
d’équations et d’inéquations
A. Heliard
Définition(s).
Résoudre une inéquation du type f (x) < k, c’est trouver les nombres réels x dont l’image par f est inférieure
strictement à k.
(cette définition est applicable aux signes >, 6, >)
Principe de la méthode (Pour résoudre graphiquement f (x) < k).
1. On trace la droite d’équation y = k
2. On sélectionne la (ou les) partie(s) de la courbe qui se trouvent en dessous de cette droite et on en lit les
abscisses
3. On donne le résultat sous forme d’intervalle (ou sous forme de réunion d’intervalles)
Exemple.
Solutions de :
1. f (x) > 3
2. f (x) 6 −1
3. f (x) > 1
2.
Inéquations du type f (x) < g(x)
On considère deux fonctions définies sur un même intervalle I.
Définition(s).
Résoudre f (x) < g(x) c’est trouver tous les nombres réels x (de l’intervalle I) dont l’image par f est inférieure
strictement à celle par g.
(cette définition est applicable aux signes >, 6, >)
Principe de la méthode (Pour résoudre f (x) < g(x)).
Il s’agit de déterminer les abscisses des points dont l’image par f est inférieure strictement à celle par g, pour cela
on repère les abscisses des points de Cf situés en dessous des points de Cg .
3
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Chapitre 2 - Résolution
d’équations et d’inéquations
A. Heliard
Exemple.
Solutions de f (x) > g(x)?
5
Cf
4
3
A
b
2
B
b
1
−3
Cg −2
1
−1
2
3
−1
☞ ex 74, 75, 76, 78 p 45-46
4