les inequations1

1
Les inéquations du 1er degré à une inconnue
1) Rappel : les équations
Résous les équations suivantes :
1. 5 = x – 2
2.
3.
+x=4
=
4. 3 + 5x = 3x – 6 + 8x
5. 2x – 4 . (x - 2) = x + 3 – (x - 2)
6. (7x – 4) – (4x – 2) = - (x + 5) – 6x + 4
7.
8.
+ = +
=
9.
–
10.
=
= -
2) Définition d’une inéquation
Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inégalité qui n’est vraie que pour
certaines valeurs attribuées aux inconnues.
L’ensemble des solutions d’une inéquation est l’ensemble des valeurs particulières que
peuvent prendre les inconnues pour vérifier l’inégalité.
Résoudre une inéquation consiste à trouver l’ensemble de ses solutions.
2
3) Propriétés des inégalités
a) Complète l’inégalité de départ par < ou >, puis trouve la nouvelle inégalité en
respectant la consigne. Vérifie tes réponses en utilisant les droites graduées.
Inégalité de départ (1)
Consigne
Nouvelle égalité (2)
1 …….. 5
Ajoute 2 aux deux membres
……………………
(1)
0
1
0
1
(2)
-3 …….. 2
Multiplie les deux membres par 3
……………………
(1)
0
1
0
1
(2)
-4 …….. -7
Retire 2 aux deux membres
……………………
(1)
0
1
(2)
0 1
8 …….. 6
Divise les deux membres par 2
……………………
(1)
0
1
(2)
0 1
2 …….. -1
Multiplie les deux membres par -3
……………………
(1)
0
1
0
1
(2)
-8 …….. -4
Divise les deux membres par -4
……………………
(1)
0
1
0
1
(2)
b) Quand observes-tu un changement de sens de l’inégalité ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3
Propriétés
1. Addition (soustraction) et ordre
Si on ajoute (retire) un même nombre réel aux deux membres d’une
inégalité, on obtient une inégalité de même sens.
a, b et c étant des réels, a < b  {
2. Multiplication (division) et ordre
a) Si on multiplie (divise) les deux membres d’une inégalité par un
même nombre réel strictement positif, on obtient une inégalité de
même sens.
a et b étant des réels et c un réel strictement positif, a < b {
b) Si on multiplie (divise) les deux membrés d’une inégalité par un
même nombre réel strictement négatif, on obtient une inégalité
de sens contraire.
a et b étant des réels et c un réel strictement négatif, a <b {
4) Intervalles de nombres réels
Ensemble des réels x …
Strictement inférieurs à a
Strictement supérieurs à a
Inférieurs ou égaux à a
Supérieurs ou égaux à a
Exercice
Inégalité
Notation
Représentation
4
Une banque lance une offre promotionnelle pour tous ses clients titulaires d’un « compte
jeunes ». Tous ceux dont le solde au 31 août est supérieur ou égal à 60€ se voient offrir une
place de cinéma.
a) Parmi tes amis ci –dessous, entoure en vert ceux qui vont bénéficier d’une place de
cinéma.
Titulaire du compte
Solde au 31-08 (en €)
Titulaire du compte
Solde au 31-08 (en €)
Astrid
50
Fabien
-35
Bertrand
15
Géraldine
-60
Chloé
-10
Hubert
100
Didier
120
Isabelle
-20
Eric
70
Jordan
60
b) Place ces valeurs sur la droite graduée ci-dessous. Les valeurs supérieures ou égales à
60 seront notées en vert et les autres en rouge
0 10
c) Aide l’employé de la banque en indiquant, en vert, sur la droite ci-dessous, tous les
soldes (pas seulement ceux de tes amis) qui permettront d’obtenir un ticket de
cinéma et en rouge, tous ceux qui ne le permettront pas.
0 10
L’ensemble des réels vérifiant la condition « supérieur ou égal à 60 » sera noté
………………………………………..
Afin de permettre aux parents de limiter les dépenses du compte de leurs enfants, la banque
a mis en place un système d’avertissement par courrier lorsque le solde des comptes
descend en –dessous de -20€.
d) Place les valeurs sur la droite graduée ci-dessous. Les valeurs inférieures à -20 seront
notées en vert et les autres en rouge.
0 10
e) Représente, en vert, sur la droite ci-dessous, tous les soldes (pas seulement ceux de
tes amis) pour lesquels la banque devra envoyer un courrier aux parents et en rouge,
tous ceux pour lesquels il n’y aura pas d’avertissement.
0 10
L’ensemble des réels vérifiant la condition « strictement inférieur à -20 » sera noté
………………………………………..
5
5) Les inéquations : méthodes de résolutions
x+a<b
ax < b
ax + b < c
ax + b < cx + d
x + 10 < -15
-5x < 20
-5x – 3 < 14
12 – 2x < 7x + 3
7 – x < -24
x<
Avec parenthèses
2x – (4x + 3) < 7x + (x + 1)
-2 . (x – 6) < 4 – x
Attention ! Ces méthodes de résolutions sont valables pour les autres signes, c’est-à-dire ≤, ≥
et >.
6
Exercices
A. Résous les inéquations suivantes en notant les solutions sous forme d’intervalles
1.
x+3>6
7.
4x < 8
13. -4 ≤ x – 1
19. 4x + 4 < 0
2.
x + 2 ≤ -1
8.
-5x ≥ -15
14. 9 ≥ -3x
20. 3x + 8 > 11
3.
x – 4 ≥ -5
9.
15. 2 < x+4
21. -3 ≥ 9 + 4x
4.
x–1<5
10. –x ≤ -1
16. -3 > x – 2
22. -4x – 12 ≤ 0
5.
3x ≤ 4
11. X + ≥ -
17. - x ≤ 4
23. – x - >
6.
5>x-2
12.
18.
24.
> -2
<x-
>-
+x≥3
B. Résous les équations suivantes en notant les solutions sous forme d’intervalles
1. 6x + 3 > 2x – 5
11. 3x-(8-x) < 0
21. 3.(x-2)+(x+1) < 2.(x-1)+5
2. – x – 4 ≤ 2x + 11
12. x+3.(x-2) > 3
22. (7x-4)-(4x-2) ≥ -(x+5)-6x+4
3. 2x – 2 > -8 + 5x
13. 4.(x+2) > 2x – 4
23. (2x-3)-(-x+6) ≤ (-x+3).(-3)
4. x + 6 ≥ 3x – 8
14. 3.(x–1) < -4 . (2x+3)
24. 3.(5x-2)-(15x+4) > 0
5. -1 – 3x < 9 + 7x
15. 2x-(3x + 4) ≥ 5+(3x–7)
25. 2,9x+0,6x ≤ 25-2,8x
6. 2x + 1 ≤ x – 5
16. (-x+3)–(7–4x) ≤ 5x+2.(x+1)
26. 7+3,4x-15 > 3,4x-8
7. -3 + 8x > 5 – 2x
17. 3x-2.(5-4x) ≤ 3x+(-x+3)
8. 7x – 4 < 13 + 2x
18. (7x-4)-(4x-2) ≥ -(x+5)-6x+4
9. 3 + 5x ≤ 3x – 6 +8x
19. 9-(x+1) > -8+6x-2.(7-4x)
10. 3 – 2x + x ≥ 5 – 3x + 6x -1
20. 2+2.(3x-1) ≤ 2x-(4-2x)
7
6) Inéquations avec dénominateurs
Méthode de résolution
. (5x – 1) –
<
–1
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
Exercices
Résous les inéquations suivantes en notant les solutions sous forme d’intervalles
1.
2.
3.
-1> + > +
8.
<
4.
- ≤
5.
–
6.
7.
–
-
≥
+
9.
+
10.
≥
11.
≤ -
12.
<x
–
–
>0
≥
≤
+ <