la chaine d`energie

LA CHAINE D’ENERGIE
COURS
Transmettre
TD
ASPECT PHYSIQUE
Hallaoua
2ème STM
Fonction
étudiée
Chaîne d’information
ACQUERIR
TRAITER
ALIMENTER
COMMUNIQUER
DISTRIBUER
CONVERTIR
TRANSMETTRE
AGIR
Chaîne d’énergie
DYNAMIQUE
1. Principe de conservation de masse :
Un ensemble matériel E vérifie le principe de conservation de masse, si tout sous-ensemble matériel ( e ) de
te
l’ensemble matériel E a une masse m(e) constante au cours du temps, soit (e)  ( E ), t m(e) =C
2. Torseur cinétique :
Soit un ensemble matériel (E) de masse m, de centre d’inertie G, en mvt par rapport à un repère R.
Définition : Le torseur cinétique de l’ensemble matériel E dans son mvt par rapport au repère R est, en un
point A quelconque, le torseur suivant :
  V( P / R ) dm

 PE

C

 ( E / R)  

  AP  V( P / R ) dm 
A  PE
Autre expression de la résultante cinétique :
Soit o l’origine du repère R. la position du centre d’inertie G de l’ensemble matériel (E) est donnée par la relation :
mOG  
PE
OPdm.
Dérivons les deux membres de cette égalité par rapport à t, dans R
d 
d

mOG

OPdm.

 dt

R
dt  PE
R
Compte tenu du principe de conservation de la masse on peut :
d
d



m  OG    
OP. dm
 dt
 R  PE dt
R
Soit :
Page 1/7
mV(G / R )  
PE
Et
V( P / R )  dm
 A ( E / R)  PR AP  V P / Rdm
Le torseur cinétique s’écrit donc

mV(G / R ) 

C

 ( E / R)  

 A E / R  

A
 A ( E / R ) est le moment cinétique au point A du torseur C( E / R ) .
Remarque : si on suppose que la masse de l’ensemble matériel ( E ) concentrée en son centre d’inertie G, le
torseur cinétique s’écrit en G :

mV(G / R ) 

C

 ( E / R)  

0



G
Cette hypothèse simplificatrice est acceptable ou non suivant la nature du mvt de (E).
Exemple : une bille en mvt de chute libre sera modélisée comme un point matériel, ce qui est exclu lors pour l’étude
de son roulement sans glissement sur un plan incliné.
3. Torseur dynamique :
Définition :
Le torseur dynamique de l’ensemble matériel (E) dans son mvt par rapport au repère R est, en un point quelconque, le
torseur suivant :
  ( P / R ) dm

 PE

D( E / R)   

  AP  ( P / R ) dm 
A  PE
Autre expression de la résultante dynamique :
mV(G / R )  
PE
V( P / R)  dm
d 
d

mV

V( G / R ) dm.
(G / R ) 

 dt

R
P

E
 R dt
Compte tenu du principe de conservation de la masse on peut :
d
d



m  V(G / R )    
V( G / R )  dm
 dt
 R  PE dt
R
Soit
m(G / R )  
PE
Le torseur dynamique s’écrit donc :
Page 2/7
( P / R )  dm
Dérivons les deux
membres de cette
égalité par rapport à t,
dans R
m (G / R ) 
D( E / R )   

 A ( E / R) 
A
m E / R  : résultante dynamique
 A ( E / R) : moment dynamique
Remarque : si on suppose que la masse de l’ensemble matériel ( E ) concentrée en son centre d’inertie G, le
torseur dynamique s’écrit en G :
m ( G / R ) 
D

 ( E / R )  0



G
 B E / R    A E / R   mG / R   AB
4. La relation entre le moment dynamique et le moment cinétique de l’ensemble
matériel (E) :
d

 A E / R    mV A / R   VG / R 
 dt
R
 A E / R   
REMARQUE : cette relation est valable pour un point A et un ensemble matériel (E) quelconques. Par
d

OA .
 dt
R
conséquent le vecteur vitesse V A / R  est uniquement égal à 
On distingue deux cas particuliers où le produit vectoriel est nul.
Premier cas : A est fixe dans R :
d

 A E / R  
 dt
R
 A E / R   
Deuxième cas : A est confondu avec G :
d

 G E / R  
 dt
R
 G E / R   
5. L’énergie cinétique Ek ou T:
Définition : l’énergie cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son mvt par rapport au repère R est le scalaire positif
suivant :
2
1


Ek  E / R   T E / R    V P / R    dm
2 PE
6. Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe:
Page 3/7
Soient un
 ,
repère R  O, x , y, z  et un axe  o, i
d’origine O et de vecteur unitaire i . Posons
i x   y  z .
Soit (S) un solide de masse m. notons P un
point quelconque de (S) et H la projection
orthogonale de P sur Δ. Posons :
OP  xx  yy  zz
Définition : le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe Δ est le scalaire positif suivant :
2
J S /   
PS
 PH  dm
Calcul de J(S/Δ) :
Pour calculer ce moment d’inertie remarquons que :
i  OP  i  OP  sin(i , OP)
Comme i est un vecteur unitaire, et que dans le triangle rectangle OPH :
PH  OP  sin(i , OP)
PH  i  OP
Alors
Déterminons dans la base de R les composantes du vecteur i  OP , en utilisant une notation classique.
 x z  y
i  OP    y   x   z

z y x
2
2
2
Alors  PH     z   y    x   z    y   x 
2
Soit  PH    2  y 2  z 2    2  z 2  x 2    2  x 2  y 2   2 yz  2 zx  2 xy
2
Par conséquent, le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe Δ s’écrit, en remarquant que α, β, γ sont indépendants
des points P de (S) :
J S /    2 
PE
y
 2 
2
PS
 z 2 dm   2 
z
PE
zxdm  2 
PS
PS
D  J yz  
PS
y
2
 z 2 dm
yz dm
B  J yy  
PS
E  J xz 
 x 2 dm   2 
PE
x
2
 y 2 dm  2 
PE
yzdm
xydm
On pose habituellement :
A  J xx  
2
PS
z
2
 x2 dm
zx dm
C  J zz  
PS
F  J xy  
PS
x
2
 y 2 dm
xy dm
2
2
2
Alors J  S /     A   B   C  2 D  2 E  2 F
Page 4/7
J xx , J yy , et J zz sont les moments d'inertie du solide par rapport aux axes x, y, et z et
J xy , J yz et J xz sont les produit d'inertie. les axes étant liés au solide, ces grandeurs sont invariables
au cours du temps.
7. Opérateur d’inertie d’un solide:
Définition : l’opérateur d’inertie d’un solide en un point O, est l’opérateur qui à tout vecteur u fait correspondre le
vecteur :
Jo  S ,u   
PS


OP  u  OP dm
Cet opérateur est linéaire, donc représentable par une matrice
matrice ou tenseur d’inertie :
La matrice d’inertie du solide (S) au point O, relativement à la base  x , y, z  , s’obtient en disposant en colonnes les
composantes des vecteurs transformés des vecteurs de base par l’opérateur d’inertie.
 A
J O  S     F
 E

F E 
B  D 
 D C  x , y , z 
Propriétés de la matrice d’inertie :
La matrice est symétrique et les moments d’inertie par rapport aux axes x, y, et z apparaissent suivant une diagonale.
Pour une même origine (A, O, etc.), il existe toujours un et un seul système d’axes appelés axes principaux d’inertie,
pour lesquels la matrice est diagonale.
Jxy = Jxz = Jyz = 0
Théorème de Huygens :
b étant la distance à l'axe (O) de l'élément dm.
moment d'inertie du corps par rapport à cet axe sera JG :
D'où le théorème de Huygens:
 Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe, est égal au moment d'inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle au
précédent et passant par le centre de masse G, augmenté du produit de la masse totale par le carré de la distance entre les 2
axes.
JO  JG  m 2
On retiendra les moments d'inertie JG par rapport à l'axe de symétrie principal, de certains corps de masse total m :
Définition
(m)=m(kg)
Cylindre plein
masse m (kg)
Cylindre creux
(couronne)
masse m (kg)
Page 5/7
Sphère pleine
masse m (kg)
Tige rectiligne
section négligeable
masse m (kg)
JGzg = (m.r²)
JGzg = Error!
.m.(R²+r²)
JGzg = Error!.m.R²
JGzg = Error!.m.R²
JGzg = Error!
8. Principe fondamental de la dynamique :
8.1 Notion de repère galiléen :
1. Repère absolu : C’est le repère fixe par rapport à l’ensemble de l’univers.
2. Repère de Copernic : Son origine est le centre d’inertie du système solaire (proche du soleil) dont les axes
passent par des étoiles fixent entre elles. En mécanique classique, les vitesses sont négligeables devant la
vitesse de la lumière (300000 km/s), on admet donc que le repère de Copernic est absolu).
3. Repère galiléen : Repère animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au repère de
Copernic.
Remarque : En négligeant la vitesse de rotation de la terre (1tour/24H) et en considérant le rayon de courbure de la
trajectoire elliptique de la terre très grand, on supposera le repère terrestre comme galiléen.
8.2.
Principe Fondamental de la dynamique :
Dans un repère galiléen Rg on considère un solide S modélisable par un point M de masse m soumis à des actions
mécaniques extérieures en M modélisées par le glisseur suivant :

( S / S )

M
:
M

 R( S / S ) 



 0 


Le Principe Fondamental de la dynamique nous dit qu’à chaque instant t le solide S est soumis à une accélération
 M telle qu’en un point quelconque A :

(S / S )

M
:
M
a)


m M




 AM  m 
M 

A
Principe Fondamental de la dynamique appliqué à un solide en translation :
Soit un solide S de masse m de centre d’inertie G en mouvement de translation soumis à des actions mécaniques extérieures. L’expression
du PFD au point G s’écrit :

(S / S )

G
:
G
 R( S / S ) 




M

 G(S / S ) 
En un point quelconque A :
Page 6/7
G
mG 




 0 


D
(S / S )

A


mG


: 

 AM  m 
G
A 
A
Remarques :
mG  R( S / S )

Théorème de la résultante dynamique :

Théorème du moment dynamique :  A

Pour un mouvement de translation rectiligne uniforme (MTRU) :
 S / S   AG  m
G
( S / S )
G
G  0
 0 


 

 0 

G 
Cette relation est donc une condition nécessaire mais non suffisante pour définir l’équilibre d’un solide (Principe
Fondamental de la statique)
 Pour un mouvement de translation rectiligne uniformément varié (MTRUV) : G = constante.
Exemple : Chute libre d’un solide
Soit S de masse m en chute libre. Soit
G
le vecteur accélération du centre de masse G
Les actions mécaniques extérieures sont définies par le glisseur :
PFD :

(S / S )

G

G
 P 


 
 G
G
 0 

G
P
 
(S / S )
mG 




 0 


Le théorème de la résultante dynamique nous donne :
P  mG
Et avec G = g (vecteur accélération de la pesanteur) nous avons : P = mg
b. PFD appliqué à un solide homogène en rotation autour d’un axe de symétrie matériel fixe :
Dans le cas de la rotation d’un solide homogène S autour d’un axe de symétrie matérielle fixe (O, z) appartenant
à S, le PFD s’écrit en tout point O de cet axe :

(S / S )

O

O
 R( S / S ) 




M

O
S
/
S




 = l’accélération angulaire du solide en rotation.
Avec θ
Remarques :

Théorème de la résultante dynamique :

Théorème du moment dynamique :
R S / S   0
M O S / S   J  o , z    z
Page 7/7
O


0




 J (O, z )  θz 

