FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE - AGADIR 2012/2013 Examen de mécanique du solide indéformable Session normale - Janvier 2013 SM3 - SMI3 - ERDD3 Durée : 1h 30’ Problème : étude mécanique d’un culbuto (*) Un solide de révolution (S) appelé culbuto est constitué par une demi-sphère (S1) et un cylindre (S2) de même base. On désigne par a le rayon de cette base et par H son centre ; la hauteur du cylindre circulaire (S2) est notée h. (S1) et (S2) sont des solides pleins homogènes de masses respectives m1 et m2 r et de même densité volumique ρ . On note ( H , z ) l’axe de révolution du solide (S) orienté de (S1) vers r r r (S2), et R ( H , x , y, z ) un repère orthonormé direct lié à (S). r z0 r z0 r z ϕ (S) θ O r y0 G H ψ r x0 I r u Figure - description générale du système r On note M la masse totale du système et G son centre d’inertie tel que HG = Lz . r r r r Soit R0 (O, x0 , y 0 , z 0 ) un repère orthonormé direct supposé être galiléen, avec (O, z 0 ) vertical ascendant. On repère la position de (S) dans ce référentiel par les coordonnées (x, y, z) de G et par les angles r r r r r r d’Euler habituels (ψ , θ , ϕ ) . On note R1 (O, u , v , z 0 ) et R2 (O, u , w, z ) les deux repères intermédiaires. Le solide (S) est situé dans le demi-espace z 0 f 0 et est assujetti à se déplacer de telle façon que sa partie r r hémisphérique soit en contact ponctuel en un point I avec le plan fixe (O, x0 , y 0 ) (voir figure). ( ) * Jouet pour enfant qui se redresse toujours même quand on le renverse car sa base est lestée. ______________________________________________________________________ 1/2 Rachid MESRAR Examen de mécanique du solide – session normale 2013 PARTIE A – ETUDE CINEMATIQUE CINEMATIQUE (7,5 points) r Q1- Représenter les figures de calcul et donner l’expression du vecteur instantané de rotation Ω( S / R0 ) . r r r r Q2- Quelles sont les composantes de Ω( S / R0 ) dans la base de Résal (u , w, z ) ? r r Q3- Déterminer la condition géométrique de contact entre (S) et le plan fixe (O, x0 , y 0 ) . Dans la suite du problème, cette condition de maintien de contact sera prise en compte. Q4- Quel est alors le nombre de degrés de liberté du système ? r Q5- Calculer la vitesse V (G / R0 ) . r Q6- Calculer l’accélération Γ(G / R0 ) . r r Q7- Déterminer la vitesse de glissement en I de (S) par rapport au plan (O, x0 , y 0 ) par ses composantes r r r dans la première base intermédiaire (u , v , z 0 ) . Commenter le résultat obtenu. PARTIE B - GEOMETRIE DES MASSES (7.5 points) Dans cette partie, toutes les grandeurs vectorielles et matricielles seront exprimées dans la r r r base ( x , y, z ) . Q8- Déterminer la position du centre d’inertie G1 de la demi-sphère (S1). Q9Q10Q11Q12Q13- En déduire la position HG du centre d’inertie G du système, en exprimant L en fonction de a et h. Déterminer la matrice d’inertie en H de la demi-sphère (S1). Déterminer la matrice d’inertie en H du cylindre (S2). En déduire la matrice d’inertie en H du système (S). Par application du théorème de Huygens généralisé, déterminer la matrice centrale d’inertie du culbuto. PARTIE C – ETUDE CINETIQUE (5 points) Afin de simplifier l’écriture dans cette partie, on adoptera pour la matrice centrale d’inertie de (S), la forme de Binet suivante: M G( S ) AG = 0 0 0 AG 0 0 0 C G ( − , − , zr ) Q14- Déterminer le torseur cinétique en G de (S) dans son mouvement par rapport à (R0). Q15- Déterminer le torseur dynamique en G de (S) dans son mouvement par rapport à (R0). Q16- En utilisant le théorème de Koenig, calculer l’énergie cinétique du système. ______________________________________________________________________ 2/2 Rachid MESRAR Examen de mécanique du solide – session normale 2013