Tangente – distance d`un point à une droite

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème
Triangle rectangle : cosinus
cours
1. cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle :
Définition :
Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’un des angles aigus est le rapport
longueur du côté adjacent à l'angle aigu
longueur de l'hypoténuse
Dans le triangle ABC rectangle en A , ci-dessus, d’après la définition du cosinus, on a :
cos ABC 
AB côté adjacent à ABC

BC
hypoténuse
cos ACB 
AC côté adjacent à ACB

BC
hypoténuse
2. Cosinus et calculatrice
Avec la calculatrice, pour calculer cos 55 au centième près :



Penser à mettre la calculatrice en mode degré.
Utiliser la fonction « cos » de la calculatrice.
cos 55  0, 57
Avec la calculatrice, pour calculer la mesure d’un angle ABC tel que cos ABC  0, 7 , au degré près :

Penser à mettre la calculatrice en mode degré.

Utiliser la fonction « cos -1 » de la calculatrice (ou 2ndF

ABC  46 .
cos )
Exercice de cours
Compléter le tableau suivant
Angle ABC arrondi au °
6°
20°
41°
57°
60°
70°
89°
Cosinus de ABC arrondi au
centième
0, 99
0, 94
0, 75
0, 55
0,5
0, 34
0, 02
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Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème
Remarques :
•
•
Plus l’angle aigu augmente, plus son cosinus diminue.
Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1. Cela se conçoit aisément car
l’hypoténuse est le plus grand des côtés dans un triangle rectangle, donc le rapport :
côté adjacent
est inférieur à 1.
hypoténuse
3. Exercices d’application :
Exercice 1 :
EFG est un triangle rectangle en F tel que EF  3 cm ; EG  5 cm.
Déterminer cos FEG ; avec la calculatrice, trouver la mesure de FEG
arrondie à 0,1 .
Dans le triangle EFG rectangle en F :
EF 3
cos FEG 
  0, 6
EG 5
d’où FEG  53, 1 .
Exercice 2 :
ABC est un triangle rectangle en A tel que BC  6 cm et ABC  40 .
Calculer AB . On donnera la valeur arrondie à 0, 1 cm.
Dans le triangle ABC rectangle en A :
AB
cos ABC 
BC
AB
cos 40 
6
AB  6  cos 40
AB  4, 6
4. Bissectrices et cercle inscrit :
Définition :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le coupe en deux angles de même mesure.
La construction s’effectue au compas.
Ici : xOz  zOy
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Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème
Propriété :
Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle.
M est sur la bissectrice Oz  de xOy .
La distance de M à Ox  est MH .
La distance de M à Oy  est MK.
La propriété indique donc que MH  MK
Réciproque de la propriété :
Si un point est équidistant des deux côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
La distance de M à Ox  est MH .
La distance de M à Oy  est MK.
MH  MK
La réciproque de la propriété indique donc que M est
sur la bissectrice de xOy .
Propriété :
Dans un triangle, les bissectrices des trois angles sont concourantes en un point, équidistant des trois
côtés du triangle. Ce point s’appelle le centre du cercle inscrit au triangle.
Construction avec le triangle ABC tel que :
AB  5 cm ; AC  7 cm et BC  8 cm .
Remarques :
•
2 bissectrices suffisent pour déterminer
le centre du cercle inscrit au triangle.
•
Le cercle inscrit est tangent aux trois
côtés du triangle.
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