CAER CAPES Oral

CAER CAPES Oral
Sujet : LA TRIGONOMETRIE EN QUATRIEME
1. Avec quel ensemble de notions articulez-vous en quatrième « le chapitre » de
trigonométrie. Quelles activités d’approches envisagez-vous ?
2. Proposer deux activités qui mettent en œuvre une modélisation de problèmes concrets
(sciences physiques, …) tels que les notions et outils reliés à la trigonométrie soient
utilisés pour résoudre ces problèmes.
3. Préciser la notion de modélisation en mathématiques.
Objectif :
Introduire une nouvelle notion ayant un intérêt pratique.
Découvrir cette nouvelle notion en réinvestissant des outils et notions vus dans
les chapitres précédents.
Par rapport au programme : (Caractérisation du triangle rectangle en 4e)
Pré-requis :
Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles.
Chapitre triangle et parallèles
Vocabulaire : Hypoténuse
Activité d’introduction : 1 poste par élève, logiciel GEOPLAN, figure préparée par le
professeur.
Activité d’approche n°1
N et N’ sont des points mobiles sur la droite
(PN) et (P’N’) sont perp à la dte
 Afficher MN, MN’, MP, MP’ d’une
part et MN/MP et MN’/MP’ d’autre
part
L’élève fait :
a) Déplacer le point N, que remarque-t-on ?
b) Déplacer le point N’, que remarque-t-on ?
c) Modifier l’angle formé par les deux droites, déplacer le point N, que remarque-t-on ?
déplacer le point N’, que remarque-t-on ?
d) CONJECTURER
Démonstration de la propriété :
 (NP) et (N’P’) sont perpendiculaires à (MN) donc (NP) et (N’P’) sont
parallèles
 Dans le triangle MN’P, N est un point de [MN’] et P est un point de [MP’],
(NP) et (N’P’) étant parallèles, ALORS d’après la propriété de proportionnalité
des longueurs des côtés de deux triangles déterminés par deux parallèles
coupant deux sécantes on a : MN/MN’ = MP/MP’ = NP/N’P’ = constante
d’où :
MN/MP
=
MN’/MP’
=
k
Cette constante k ne dépend pas de la position des points N et P. On note :
cos() = MN/MP ou cos() = MN’/MP’
Propriété : « Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient :
(mesure du côté adjacent à l’angle ) / (mesure de l’hypoténuse) »
Faire le schéma d’un triangle ABC rectangle en A, on s’intéresse à l’angle B.
On note cos(ABC) = AB/BC
Cas particulier : on reprend le schéma de l’activité d’introduction et l’on fixe MP =1,
on obtient le situation quart de cercle de rayon 1 où l’on lit le cosinus de l’angle
comme l’abscisse du point P.
Applications :
1. Activité d’approche n°2
Soit ABC un triangle rectangle en A. Faire le schéma d’un triangle ABC rectangle en
A, on s’intéresse à l’angle B.
a. Utiliser la calculatrice pour remplir le tableau.
Angle B
0,5
10
25
39
65
Cos(B)
Faire une conjecture concernant les valeurs prisent par cos(B).
89
b. Quelle est l’hypoténuse du triangle ABC(remarquer que c’est le côté le plus
long)?
c. Quel est le côté adjacent à l’angle B ?
d. Que peut-on en déduire concernant le quotient :
(mesure du côté adjacent à l’angle ) / (mesure de l’hypoténuse)
2. Activité d’approche n°3
En utilisant la calculatrice, remplir le tableau.
Angle B ?
30
?
?
65
?
85
au degré
près
Cos(B) à 0,97
?
0,7
0,5
?
0,33
?
10
puissance
–2 près
On ajoutera deux flèches de part et d’autre du tableau : dans un sens on utilise la
touche ??? et dans l’autre sens on utilise la touche ???
3. Problème concret n°1 : A quelle hauteur se trouve la lucarne ? (Exercice de contrôle)
reprendre l’activité avec le soleil et le mur (vertical) et le sol (horizontal).
4. Problème concret n°2 : Mesurer la distance bateau/cabane (Exercice de devoir maison)
Pré-requis : Théorème de Pythagore
Pour déterminer la distance entre la cabane et le bateau, Paul se place en un point d’où
l’on voit simultanément le bateau et la cabane sous un angle de 65°. Paul se trouve
alors à 400 mètres du bateau et à 500 mètres de la cabane.
Calculer la distance séparant le bateau et la cabane.
Notions mises en œuvre :
 Notion d’angles : droites parallèles et perpendiculaires
 Quotient, proportionnalité
 Relations métriques dans un triangle rectangle
Outils :
 Touche racine carrée
 La touche cos()
 Les différents théorème (Pythagore, «Thalès »)
Modélisation en mathématiques :
C’est passer d’une situation pratique à une étude théorique pour revenir à une situation
pratique (Exemple le problème concret numéro 2) ce qui permet d’appliquer des propriétés
mathématiques pour résoudre des problèmes concrets.
Conclusion : L’outil cos() fait appel à beaucoup de notions différentes et permet de résoudre
des problèmes concrets complexes après avoir modélisé la situation. L’élève ayant assimilé
toutes ces notions saura profiter de ce nouvel outil pour résoudre des problèmes complexes,
l’élève « moyen » rencontrera beaucoup de difficultés non pas avec l’outil cos() mais dans la
synthèse des différentes notions mises en oeuvre.
En classe de troisième l’élève découvrira les outils sinx, tanx, puis au lycée les fonctions
trigonométriques cos(x), sin(x), tan(x) avec x exprimé en radian ; en physique on fera appel à
l’outil cos() pour le calcul du produit scalaire, calcul du travail d ‘une force.
Plus tard l’élève généralisera et on parlera de cosinus d’un angle dans un triangle quelconque
avec les formules d’Al-Kashi : a² = b² + c² - 2bc cos(BAC)