T r i g o n o m e t r i e

Trigonometrie
I-RAPPORTS TRIGONOMETRIQUES D’UN ANGLE D’UN TRIANGLE RECTANGLE
1)Unités de mesure d’angle
0utre le degré,on utilise comme unités de mesure pour les angles,le
radian , le grade.
Ainsi par exemple l’angle plat a pour mesure, en degré 180 (180°) ; en radians
(Notation :
rd) ; en grade (notation : 200gon).
Pour un angle donné, soit a sa mesure en degré, b sa mesure en radian,
c sa mesure en grade, on a alors la formule de conversion :
=
=
2) Trigonométrie dans le triangle rectangle :
Soit ABC un triangle direct rectangle en B. notons par  l’angle
cos =
=
sin  =
tanÂ=
.0n a :
=
=
Dans un triangle rectangle, si on connaît la mesure d’un
angle et la mesure d’un côté, on peut connaître les mesures de
tous les côtés et les angles
Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle enB Soit
Â,a= BC, b= AC,c=AB.
0n donne =50° et b=12..calculer a et c.
Réponse
: Nous savons que cos
Sin
=
=
,donc :c =b.cos
, donc a =b.sin
la mesure en degré de l’angle
c’est-à-dire c=12x 0,628
,c’est-à-dire a =12x0, 766
II-0RIENTATION DU PLAN :
1) Longueur d’un arc de cercle :
Nous avons vu en classe antérieure que la circonférence d’un cercle de centre 0
et de rayon r est c=2
r
La longueur du demi-cercle de centre 0 et de rayon r est alors
r.
Plus généralement, si A et B sont deux points d’un cercle de centre 0 et
de rayon r et, si est la mesure en radians de l’angle
, alors la
longueur de l’arc
est l = r .
2)0rientation d’un cercle :
0rienter un cercle, c’est choisir pour sens positif l’un des sens de
Parcours sur le cercle.
.0n convient de choisir comme sens positif le sens contraire au
sens des aiguilles d’une montre.
Le cercle trigonométrique est un cercle orienté de centre l’origine du
repère, et, de rayon 1.
3) arcs orientés :
Dans un cercle trigonométrique, un arc de cercle est défini par un
Couple (A , B) du cercle, on le note AB
4) Mesure d’un arc orienté :
EXEMPLES :
Dans le cercle trigonométrique, l’unité de mesure des angles est le radian
.
Partant de A et en tournant dans le sens positif, on passe une première
fois en B après avoir effectué un trajet de longueur
. 0n passe une deuxième
fois en B après avoir effectué un trajet de longueur
.
+2
Partant de A et en tournant dans le sens négatif, on passe une première
fois en B après avoir parcouru un trajet de longueur
une deuxième fois en B après un trajet de
0n dit que chacun des réels
de l’arc
,
-4
,
+2
=
-2
.0n passe
.
-2
,
-4
est une mesure
AB
Si x est une mesure en radian de l’arc AB , alors tout réel x + k2
(Avec k Z) , est une autre mesure de cet arc.
0n appelle mesure principale d’un arc l’unique mesure de cet arc
appartenant à l’intervalle] –
EXEMPLE :
,
].
Un arc AB a pour mesure
0n a 64 =22x3 – 2 donc
.Quelle est sa mesure principale ?
,
= 22 -
Donc, la masure principale de cet arc est
-
ainsi :
=11x2 -
.
5) Angle orienté de deux vecteurs :
Dans le cercle trigonométrique, de centre 0, et sont deux vecteurs
unitaires .0n note A et B les deux points du cercle tel que : =
et =
.
Le couple de vecteurs ( , ) définit l’angle orienté
).
Ses mesures sont les même que celles de l’arc AB .
III-LIGNES TRIGONOMETRIQUES :
1) cosinus et sinus :
Le plan est muni du repère orthonormé direct (0, ,
trigonométrique .0n pose
= et
=
).Soit C le cercle
a) Définition :
Soit x un réel et M le point de C tel que x est une mesure en radian
de l’angle ( ,
).
0n appelle cosinus et sinus de x et on note cos x et sin x les coordonnées
de M dans le repère (0, , ). :
= (cos x) + (sin x) .
b) Propriétés :
.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle
OCM
Cos²x +sin²x =1 ( 1 )
.
Comme cos²x
analogues
-1
0
sin² x 1, soit -1 sin x
1
-1  cos x  1 ( 2 )
-1  sin x  1
.
Quel que soit l’entier k, les réels x + k 2
cercle au même point M. Par conséquent :
1. Pour des raisons
correspondent sur le
Cos(x +k2  ) = cos x ( 3)
Sin(x +k2  ) = sin x
c) Quelques valeurs simples :
Il est indispensable de connaître sans hésitation les résultats portés
dans le tableau suivant.
x en 0
rad
Cos x
Sin x
1
0
0
1
2)angles associés :
a)Lignes trigonométrique de x et –x :
Considérons les points M et M’ sur le cercle trigonométrique tel que
les mesures des angles ( ,
) et ( ,
) sont respectivement x et –x.
Ces deux points sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, donc
ils ont même abscisse mais d’ordonnées opposées. D’où la relation :
Cos(- x) = cosx
sin (-x) =- sin x
EXEMPLE: Calculer le cosinus et sinus des angles :0n a cos (-
)= cos
=
,- .
mais sin(- ) = -
d) Lignes trigonométriques de x et   x :
Les points M(x) et M’( – x) sont symétriques par rapport à l’axe des
ordonnées, donc leur abscisse sont opposés et ils ont même ordonnée.
Cos ( –x ) = - cos x
Sin ( – x) = sin x
Remarquons que x et
– x sont deux angles supplémentaires.
c)Lignes trigonométriques de x et
+x:
les points M(x) et M( + x) sont symétriques par rapport à l’origine du
repère, donc leur coordonnées sont opposés. Par conséquent :
cos (x+  ) = - cos x
sin (x +  ) = - sin x
EXEMPLE :
Calculons le cosinus et le sinus de
Dons cos
= -cos
=-
d)Lignes trigonométriques de x et (
Les points M(x) et M’ (
et sin
0n a
=-
=
.
–x) :
–x) étant symétriques par rapport à la droite
y = x .l’abscisse de M est l’ordonnée de M’ et l’ordonnée de M, l’abscisse
de M’.
Remarquons que ces deux angles sont complémentaires.
3)Tangente :
Soit x un réel différent de
définie par :
tan x =
+k2
k Z. 0n appelle tangente de x le réel noté tan x et