Terminale S - Saint Joseph Machecoul

Terminale S
Préparation 3 – Corrigé
25/09/2012
Exercice 1
1)  f est de la forme u  v avec u : x  2x et v : x  1 – x. f’ est donc de la forme u’v + uv’.
On a donc : f’ (x) = 2  (1 – x) + 2x  (– 1), soit f’ (x) = 2(1 – 2x).
Le réel f’ (x) est strictement positif sur l’intervalle ]–  ;
Ainsi, la fonction f est croissante sur l’intervalle ]–  ;
1
1
[ et négatif sur l’intervalle ] ; + [.
2
2
1
1
[ et décroissante sur l’intervalle ] ; + [.
2
2
1
1
 On a donc : g’ (x) = 2 – 2x + 8x², soit g’ (x) = 8(x² – x  ), soit g’ (x) =
2
4
1
3

8( x  )²  .
4
16 

1
Le réel ( x  )² est positif ou nul sur IR, donc le réel g’ (x) est strictement positif sur IR.
4
Ainsi, la fonction g est strictement croissante sur IR.
2)  Soit d1 la tangente à la courbe Cf à l’origine du repère. On a : d1 : y = f’ (0)(x – 0) + f (0).
Or, f’ (0) = 2 et f (0) = 0. Ainsi l’équation de la droite d1 est : y = 2x.
 Soit d2 la tangente à la courbe Cg à l’origine du repère. On a : d2 : y = g’ (0)(x – 0) + g(0).
Or, g’ (0) = 2 et g (0) = 0. Ainsi l’équation de la droite d2 est : y = 2x.
 Les droites d1 et d2 sont confondues. Ainsi, les courbes Cf et Cg admettent la même tangente 
d’équation y = 2x à l’origine du repère.
3)  Étudier la position relative de la courbe Cf et de la droite  sur IR revient étudier sur IR le signe du réel
f (x) – 2x. Notons A (x) le réel défini sur IR par : A (x) = f (x) – 2x.
Sur IR, on a : A (x) = 2x(1 – x) – 2x, soit A (x) = – 2x². Le réel A (x) est négatif ou nul sur IR.
Donc, la courbe Cf est située au dessous de la droite  sur IR.
 Étudier la position relative de la courbe Cg et de la droite  sur IR revient étudier sur IR le signe du réel
g(x) – 2x. Notons B (x) le réel défini sur IR par : B (x) = g (x) – 2x.
8
4
Sur IR, on a : B (x) = 2x – 2x² + x 3 – 2x, soit B (x) = 2x²( x  1).
3
3
Le réel B (x) est négatif sur ]–  ;
3
3
[ et positif sur ] ; + [.
4
4
Donc, la courbe Cg est située au dessous de la droite  sur ]–  ;
3
3
[ et au dessus sur ] ; + [.
4
4
Exercice 2
Partie A
1) Il semble que la limite de la suite (un) soit égale à 20.
2) On a
u1 104,6 523
u
u
u
70,76 1769


 0,65, et 2 

 0,68. On a donc : 2  1 .
u0
161 805
u1 104,6 2615
u1 u 0
Donc, la suite (un) n’est pas une suite géométrique.
Partie B
1) À l’aide de la calculatrice, on obtient : u4 = 38,2736.
2)
vn  1
vn

u n  1  20
u n  20

0,6u n  8  20 0,6u n  12 0,6(u n  20)


 0,6
u n  20
u n  20
(u n  20)
La suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,6 et de 1er terme v0 = 141 (= u0 – 20 = 161 – 20).
3) La suite (vn) est définie, pour tout entier naturel n par : vn = 141  (0,6)n.
Or, on a : vn = un – 20, soit un = vn + 20.
La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n par : un = 20 + 141  (0,6)n.
4) On a, pour tout réel q compris strictement entre (– 1) et 1 : lim q n  0.
n
Ainsi, la limite de la suite (un) est bien égale à 20.
Cela confirme la conjecture de la question 1) de la Partie A.