Troisième exercice Liban juin 2008

Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Liban juin 2008
Partie A - Une démonstration de cours
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2°) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.
D'abord, calculons l'ordonnée f ( 0 ) du point A de la courbe (C) d'abscisse 0.
Pré-requis : définition d'une suite tendant vers +∞
∞.
Une suite tend vers +∞, si et seulement si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont,
à partir d'un certain rang, supérieurs à A.
1
y A = f ( x A ) = f ( 0 ) = ln ( 0 + 1) + × 02 = ln (1) + 0 = 0 + 0 = 0
2
La tangente (T) est la droite de coefficient directeur f ′ ( 0 ) passant par le point A ( 0;0 ) .
Démontrer le théorème suivant : toute suite croissante non majorée tend vers +∞ .
( u n ) est une suite strictement croissante non majorée.
Calculons le nombre dérivé de f en 0.
Soit A un réel quelconque.
Comme la suite ( u n ) est non majorée, alors il existe un terme de cette suite que nous
appellerons u p qui est plus grand que A.
De plus, comme la suite ( u n ) est croissante, alors si n > p alors u n > u p > A .
Ainsi, à partir du rang p, tous les termes de la suite ( u n ) sont plus grands que A.
Conclusion : la suite strictement croissante et non majorée ( u n ) tend vers +∞ .
Partie B - Etude d'une fonction f
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0; +∞[ par :
1
f ( x ) = ln ( x + 1) + × x 2
2
On appelle (C) sa courbe représentative qui est tracée à la question C.1.
1°) Etudier le sens de variations de la fonction f sur l'intervalle [ 0; +∞[ .
Nul besoin de dériver ici ! En effet, comme :
La fonction u ( t ) = ln ( t ) est strictement croissante sur ]0; +∞[ .
La fonction affine v ( x ) = x + 1 est strictement croissante et positive sur ]−1; +∞[ .
1
f ′(0) =
+ 0 = 1+ 0 = 1
0 +1
Finalement, c'était peut-être mieux de calculer la dérivée de f à la question précédente...
Donc l'équation réduite de la tangente (T) est de la forme y = x + p . Reste à trouver p !
Comme le point A ( 0;0 ) appartient à la droite (T), alors les coordonnées du premier
vérifient l'équation de la seconde. Ainsi :
yA = x A + p ⇔ 0 = 0 + p ⇔ p = 0
Pr évisible car l'ordonnée à l'origine de la droite (T) est celle de l'origine O ou A.
Conclusion : l'équation réduite de la tangente (T) est y = x . La droite (T) est la
première bissectrice du plan. Elle est tracée sur le graphique de la question C.1.
Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle ]0; +∞[ , la courbe (C) est située
au-dessus de la droite (T).
La preuve (non demandée) de ce fait important
Calculons la dérivée de la différence d'ordonnées ϕ ( x ) = y(C) − y(T) = f ( x ) − x entre
la courbe (C) et la tangente (T) pour une même abscisse x.
Pour tout réel x ∈ [ 0; +∞[ , nous pouvons écrire :
1
1 + x2 + x − x − 1
x2
ϕ ' ( x ) = ( f ( x ) − x )′ = f ′ ( x ) − 1 =
+ x −1 =
=
x +1
x +1
x +1
Alors leur composée u v ( x ) = ln ( x + 1) est strictement croissante sur ]−1; +∞[ .
Comme ses numérateur x 2 et dénominateur x + 1 sont positifs sur ]0; +∞[ , alors il en
1
× x 2 est strictement croissante sur l'intervalle [ 0; +∞[ .
2
1
Conclusion : comme ses termes ln ( x + 1) et × x 2 sont strictement croissants sur
2
l'intervalle [ 0; +∞[ , alors il en va de même pour leur somme f.
va de même pour le quotient ϕ′ ( x ) . Donc ϕ est strictement croissante sur ]0; +∞[ .
De plus, la fonction
Une autre voie : on peut aussi calculer la dérivée f ′ ( x ) =
positive de deux termes positifs sur l'intervalle ]0; +∞[ .
1
+ x qui est une somme
x +1
De plus, comme ϕ ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 = 0 − 0 = 0 , alors nous en déduisons que la fonction ϕ
est strictement positive sur l'intervalle ]0; +∞[ .
Conclusion : La courbe (C) est au-dessus de sa tangente (T) sur ]0; +∞[
Partie C - Une suite définie par récurrence à partir de la fonction f
On considère la suite ( u n ) définie par :
u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n +1 = f ( u n )
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1°) Sur le graphique ci-dessous, construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes
de la suite ( u n ) en laissant apparents les traits de construction
On construit les cinq premiers termes de la suite ( u n ) en s'appuyant sur la courbe (C) et
sur la droite (T), l'endroit du plan où l'abscisse de chaque point est égale à son ordonnée.
y
(C)
4
(T) : y = x
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Au premier rang : comme u 0 = 1 ≥ 1 , alors la propriété P0 est vraie.
Le principe de récurrence : supposons que la propriété Pn soit vraie. Il vient alors :
un ≥ 1
⇒
f ( u n ) ≥ f (1)
⇒ u n +1 ≥ 1 donc Pn +1 est vraie
Pr opriété Pn vraie
Car f est croissante sur [ 0;+∞[
Car f (1) >1
Ainsi, si la propriété Pn est vraie, alors la propriété Pn +1 est aussi vraie. Le principe de
récurrence est établi.
Conclusion : pour tout entier naturel n, u n ≥ 1
3.b) Montrer que la suite ( u n ) est croissante.
Soit n un entier naturel quelconque.
Comme pour tout réel strictement positif x, nous avons :
f (x) > x
3
Alors, en particulier pour le réel strictement positif u n (car plus grand que 1), on a :
u n +1 = f ( u n ) > u n
2
Conclusion : la suite ( u n ) est strictement croissante.
3.c) Montrer que la suite ( u n ) n'est pas majorée.
1
A
u0
1 u1 u 2
2 u3
3 u4
x
4
5
Procédons par l'absurde : supposons que la suite ( u n ) soit majorée.
Vu que nous savons qu'elle est croissante, alors elle converge vers une limite finie .
Comme :
Pour tout entier naturel n, u n +1 = f ( u n ) .
Tous les termes de la suite ( u n ) appartiennent à l'intervalle [1; +∞[ .
La fonction f est dérivable donc continue sur [1; +∞[ .
2°) A partir du graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la
suite ( u n ) et son comportement lorsque n tend vers +∞ ?
Sur ses cinq premiers termes, la suite ( u n ) semble croissante et tendre vers +∞ .
3.a) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n,
un ≥ 1
Avant d'aller plus loin, précisons que comme la courbe (C) représentant f est au-dessus
de la droite (T) d'équation y = x sur ]0; +∞[ , alors sur cet intervalle, nous avons :
f (x) > x
Démontrons par récurrence sur l'entier naturel n la propriété : Pn
un ≥ 1 .
Alors la limite est l'une des solutions de l'équation f ( x ) = x dans l'intervalle [1; +∞[ .
Or sur l'intervalle [1; +∞[ , nous avons f ( x ) > x .
Donc l'équation f ( x ) = x n'a aucune solution dans l'intervalle [1; +∞[ . Donc cette
limite ne peut pas exister ! C'est le beug !
Conclusion : ce que nous avions supposé était faux : la suite ( u n ) ne peut pas être
majorée.
3.d) En déduire la limite de la suite ( u n ) .
D'après ce qui a été démontré et rappelé lors de la partie A, nous en déduisons que
comme la suite ( u n ) est croissante et non majorée, alors elle tend vers +∞ .