Terminale S Devoir de mathématiques À rendre le mardi 3 janvier 2012 Exercice 1 Famille de fonctions (5 points) n est naturel non nul et fn la fonction définie sur [0; +∞[ par : fn (x) = 1 − 2n − e−x x+n a) Étudier les variation de fn . b) Préciser fn (0) et lim fn (x). x→+∞ c) Calculer fn (n) et préciser son signe. d) Démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul : en+1 > 2n + 1 e) En déduire le signe de fn (n + 1). f) Démontrer que l’équation fn (x) = 0 a une unique solution un et que n < un < n + 1. Exercice 2 Fonction logarithme (8 points) On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (0) = 1 1 2 x (3 − 2 ln x) + 1 si x > 0 f (x) = 2 → − → − On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal O, ı , . Partie A 1) a) Calculer lim f (x). Que peut-on en déduire pour la fonction f ? x→0 b) Déterminer la limite de f en +∞. 2) a) Étudier la dérivabilité de f en 0. b) Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et calculer f ′ (x) pour x > 0, f ′ désignant la fonction dérivée de f . 3) Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[, puis dresser son tableau de variations. 4) Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l’intervalle [0 ; +∞[. Déterminer un encadrement de α à 10−5 près. Partie B 1) Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse x = 1. 1 2) On considère la fonction g : x 7→ f (x) − 2x − définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 2 paul milan 1/ 3 15 décembre 2011 Terminale S devoir a) Calculer g′ (x), puis g′′ (x) où g′ et g′′ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de g. étudier le sens de variations de g′ . En déduire le signe de g′ (x) sur ]0 ; +∞[ b) Étudier le sens de variations de g. En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D. 3) Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm). Exercice 3 Logarithme décimal (1 point) Le plus grand nombre premier N trouvé en 2008 est : N = 243 112 609 − 1. Combien N a t-il de chiffres dans sa notation décimal ? Exercice 4 Nombres complexes (2,5 points) q q √ √ 1) On pose z = − 2 − 2 + i 2 + 2. Déterminer la forme algébrique de z2 2) Pour tout complexe z différent de i, on pose : z′ = z′ ∈ R ⇔ iz − 1 . Prouver que : z−i |z| = 1 Exercice 5 Vrai - Faux (1,5 points) Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et |z| désigne le module de z. a) Si z + z = 0, alors z = 0. 1 b) Si z + = 0, alors z = i ou z = −i. z c) Si |z| = 1 et si |z + z′ | = 1, alors z′ = 0. Exercice 6 Equation dans C (2 points) θ est un réel donné a) Résoudre l’équation (E) : z2 − 2 cos θ z + 1 = 0 → − → − b) Dans le plan complexe (O, u , v ), A et B sont les point ayant pour affixe les solutions de l’équation (E). Quelles sont les valeurs de θ pour lesquelles le triangle OAB est équilatéral ? paul milan 2/ 3 15 décembre 2011 Terminale S devoir A rendre avec la copie Nom : Prénom : 5 4 3 2 1 −1 0 1 2 3 4 −1 −2 paul milan 3/ 3 15 décembre 2011