Révisions mathématiques - Poly

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -
MATHEMATIQUES 4 :
THEOREME DE LA VALEUR INTERMEDIAIRE
- COURS + ENONCE EXERCICE -
Olivier CAUDRELIER
[email protected]
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I.
Théorème DES valeurs intermédiaires :
Enoncé :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si f est continue dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au
moins un réel c de [a;b] tel que f(c) = k.
⟹ Signification :
·
·
·
f est une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b]. (f est quelconque, pas forcément
strictement croissante ou strictement croissante, peu importe ses variations sur [a ; b].)
on choisit (par exemple) a < b. Il est clair que l’intervalle-image de [a ;b] par f est [f(a) ; f(b)]
(ou [f(b) ; f(a)])
Le Théorème stipule alors que toute valeur k comprise dans cet intervalle [f(a) ; f(b)] (ou
[f(b) ; f(a)]) possède au moins un antécédent c dans l’intervalle des antécédents : [a ; b]
( ⟹ cela revient à dire rigoureusement et mathématiquement l’évidence que toute image
d’une fonction continue provient forcément d’un antécédent)
II.
Théorème de LA valeur intermédiaire :
Théorème appelé aussi : Corollaire des valeurs intermédiaires, ou : Théorème de la bijection.
Enoncé :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si f est continue et strictement monotone dans [a;b], alors, pour tout réel k compris
entre f(a) et f(b), il n’existe qu’un et un seul réel c de [a;b] tel que f(c) = k.
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⟹ Signification :
Les éléments du Théorème précédent sont repris ; mais si f est à présent strictement croissante sur
[a ;b] ou strictement décroissante sur [a ;b], tout réel k de l’intervalle-image [f(a) ; f(b)] (ou [f(b) ;
f(a)])ne peut provenir que d’un seul antécédent c (et non éventuellement de plusieurs comme vu au
paragraphe I)
Remarque :
Lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, chaque élément de I a donc une et
une seule image . On dit que f est une bijection de I sur f(I)
III.
Exercice-type et méthode de la dichotomie:
Soit ( ) =
a)
b)
c)
d)
e)
+ 3 + 8.
Justifier que f est continue sur [−2; 1]
Etudier les variations de f
Montrer que l’équation ( ) = 0 admet dans [−2; 1] une unique solution
Donner un encadrement de à 10 près
En déduire le signe de f sur [−2; 1]
Solution :
a) f est une fonction polynôme définie sur ℝ donc continue sur ℝ, à fortiori dans [−2; 1]
b) f est une fonction polynôme donc dérivable sur ℝ, donc a fortiori dérivable dans [−2; 1]
[−2; 1]
Pour tout x ∈ [−2; 1], f (x) = 3x² + 3 > 0,
c)
·
·
·
f est continue strictement croissante sur [−2; 1]
l’intervalle-image de [−2; 1]par f est [ (−2); (1)], c’est-à-dire [−6; 12]
or 0 ∈ [−6; 12], donc, d’après le Théorème de la valeur intermédiaire, il n’existe
qu’un et un seul antécédent de 0 par f dans [−2; 1]
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d) Méthode d’encadrement par dichotomie (ou : balayage):
Ø Sur la calculatrice on programme un pas de 1 en commençant à – 2 :
x
f(x)
−
−
−
4
0 1
8 12
0 se situe entre (-6) et 4, c’est donc entre (-2) et (-1) que f(x) passe donc par 0 ;
∈ [−2; −1]
Ø On affine la précision de en reprogrammant la calculatrice avec un nouveau pas de
0,1, et en commençant à -2 :
x
f(x)
-1,7
-1,4
-1,3
-1,6
-1,5
−2 −1,9 -1,8
−6 -4,56 -3,23 -2,013 -0,896 0,125 1,056 1,903
0 se situe entre (-0,896) et 0,125, c’est donc entre (-1,6) et (-1,5) que f(x) passe donc
par 0 ; ∈ [−1,6; −1,5]
Ø On affine la précision de en reprogrammant la calculatrice avec un nouveau pas de
0,01, et en commençant à -1,6 :
x
f(x)
−1,6
−1,59 -1,58 -1,57 -1,56 -1,55 -1,54 -1,53 -1,52 -1,51 -1,50
-0,68 -0,57 -0,47 -0,37 -0,27 -0,17 - 0,07 0,027 0,125
−0,896 -0,79
0 se situe entre (-0,07) et 0,027, c’est donc entre (-1,52) et (-1,51) que f(x) passe donc
par 0 ; ∈ [−1,52; −1,51]
Conclusion :
∈ [− ,
;− ,
] ; nous avons encadré
à
près
e) f est croissante sur [−2; ], de f(-2) = - 6 jusque f( )= 0 , donc ( ) < 0 sur [− ; [
f est croissante sur [ ; 1], de f( )= 0 jusque f(1) =12, donc ( ) ≥
IV.
sur [ ; ]
Intérêt et utilisation du Théorème de la valeur intermédiaire :
1. Donner des solutions approchées pour des équations plus « difficiles »
Exemple : ci-dessus la solution de
+ 3 + 8 = 0 se situe dans l’intervalle [−1,52; −1,51]
2. Pouvoir étudier le signe de certaines dérivées également plus « difficiles », afin de déterminer
les variations de la fonction dont elles dérivent
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Exemple ( suite de l’exercice-type) :
Soit g(
)=
définie également sur [−2; 1]
²
a) Calculer la dérivée de g, et exprimer la en fonction de la fonction f de l’exercice-type cidessus
b) Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x, en déduire les variations de g
Solution :
a) g est dérivable sur [−2; 1] en tant que quotient de fonctions dérivables sur [−2; 1]
pour tout x appartenant à [−2; 1],
=
=
[3 (
[3
=
(
( )=
+ 1) > 0
0
-2
signe de x
)
-
-
+ ∞
+
( )
-
+
+
Signe de g’(x)
+
-
+
( )≥0
( )≤0
[ ; 0] ,
[−2;
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] ∪ [0; +∞[,
[− ;
é
)
. ( )
( + 1)
( )
[−2; 1],
x
)(
+ 1) − 2( − 4)]
( + 1)
+ 3 − 2 + 8]
( + 1)
[ 3 + 3 + 8]
( + 1)
( )=
(
(
) (
]
[ ; +∞[
[ ; ]
. ( )
Exercice :
Partie A
Soit la fonction g définie sur ℝ par : g(x) = x + 3x + x − 5
1. calculer g(1) ; en déduire un polynôme P de degré 2 tel que : g(x) = (x − 1). P(x)
2. déterminer le signe de g(x) sur ℝ
Partie B
Soit la fonction f définie sur
= ℝ ∖ {−1} par :
( )=
(
)²
On appelle la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( , ⃗, ⃗)d’unité
graphique 1 cm.
1. Déterminer les réels a,b, c et d tels que, pour tout x de
( )=
+
+
+
( + 1)²
2. Etudier les limites de f aux bornes des intervalles de
; interprétation graphique
3. a) étudier la dérivabilité de f
b) montrer que, pour tout réel de
, on a :
c) en déduire les variations de f
, on ait :
( )=
(
( )
)
4. montrer que l’équation ( ) = 0 possède une solution unique sur
a) montrer que est compris entre −2 − 1
b) donner une valeur approchée de à 10 près
c) déterminer le signe de f(x), pour tout x de
5. a) Montrer que possède une asymptote ∆ non parallèle aux axes de coordonnées
b) Etudier la position relative de
et ∆
c) Déterminer les coordonnées du point commun à et ∆ ; soit B ce point.
d) Donner une équation de la tangente en B
e) Montrer que la tangente en B recoupe l’axe des ordonnées en un point C situé sur
6. Tracer dans le repère orthonormal ( , ⃗, ⃗) : les axymptotes, la tangente en B, puis la
courbe
7. Discuter, suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre de points d’intersection de
la courbe
et de la droite d’équation : =
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