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CHAPITRE 3
LA DERIVATION
I. RAPPELS SUR LES FONCTIONS DE REFERENCE:
1) Les fonctions affines :
Soit a et b deux réels.
La fonction f telle que f(x) = ax + b est appelée fonction affine.
Son ensemble de définition est Df = ] –  ; +  [ = IR
La représentation graphique de f est une droite d’équation y = a x + b
a est appelé coefficient directeur
b est appelé ordonnée à l’origine
Si a < 0 alors f est décroissante
Tableau de variation
Si a > 0 alors f est croissante
Tableau de variation
x
–
+
–
x
+
f (x)
f (x)
Tableau de signes
Tableau de signes :
–
x
f (x)= a x + b
–
–
b
a
0
:
x
+
f (x)= a x + b
+
–
–
+
b
a
0
+
–
Si a = 0 alors la fonction f est constante .
Comment tracer la droite d'équation y = ax + b ?
a) On peut remplir un tableau de valeurs
x
Remarque : 3 points suffisent pour tracer une droite !
f (x)
b) On peut utiliser a et b
Représenter la fonction f définie par : f (x) = – 0,5 x + 2
b = 2 donc la droite passe par ( 0 ; 2 )
a = – 0,5 donc à partir du point précédent
on se décale de 1 unité vers la droite puis on
descend de 0,5 unité.
1
Remarque : a = – 0,5 = –
2
On peut aussi se décaler de 2 unités vers la droite
et de 1 unité vers le bas
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2) La fonction carré :
La fonction carré est la fonction définie sur R par f(x) = x² .
L’ensemble de définition de f est : Df = IR .
–3
9
x
f (x)
–2
4
–1
1
Tableau de variation :
x

0
0
1
1
2
4
3
9
Tableau de signes :
 
0
f(x)
x
f (x) = x²
0
–
0
+
0
+
+
La fonction carré est strictement décroissante sur ] –  ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; +  [.
Le minimum de la fonction carré est 0 . Il est atteint pour x = 0 .
3) La fonction cube :
La fonction cube est la fonction définie par f (x) = x3.
L’ensemble de définition de f est : Df = IR .
Tableau de valeurs :
x
-2
-1
f(x) = x3
-8
-1
0
0
1
1
2
8
Tableau de variation :
-
x
 
0
f(x)
0
La fonction cube est strictement croissante sur IR .
Tableau de signes:
x
f (x) = x3
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–
0
–
0
+
+
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Cette courbe est une hyperbole.
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4) La fonction inverse :
La fonction inverse est la fonction définie par f(x) =
1
.
x
0 est la valeur interdite de la fonction inverse.
Son ensemble de définition est IR privé de 0, noté IR–{0} ou IR* ou ]–  ; 0 [  ] 0 ; +  [
x
–4
f (x) – 0,25
–2
– 0,5
–1
–1
– 0,8
– 1,25
– 0,5
–2
– 0,25
–4
0,25
4
0,5
2
0,8
1,25
1
1
2
0,5
4
0,25
Sa représentation graphique est une hyperbole .
x
Tableau de variation :
0

Tableau de signes :
 
f(x)
–
x
f (x) =
1
x
0
–
+
+
La fonction inverse est strictement décroissante sur ] –  ; 0 [ et sur ] 0 ; +  [.
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II. RAPPELS SUR LES DERIVEES:
1) Dérivées des fonctions de référence :
Ensemble de définition de la
Définition de la fonction f
fonction f et de sa dérivée f '
Définition de la fonction f '
IR
f (x) = C
f '(x) = 0
IR
f (x) = a x + b
f '(x) = a
IR
f (x) = x²
f '(x) = 2x
IR
f (x) = x3
f '(x) = 3x²
IR
f (x) = xn
] – ; 0 [  ] 0 ; + [
f (x) =
n IN*
f '(x) = n xn–1
1
x
f '(x) = –
1
x²
2) Equation d'une tangente :
Soit f une fonction dérivable en xA .
La tangente à la courbe représentative de f au point A ( xA ; f (xA) ) est la droite
passant par le point A et de coefficient directeur f '(xA) .
Son équation est y = f '(xA )  x + b.
Pour déterminer la valeur de b, on remplace y par yA = f ( xA ) et x par xA et on résout l'équation.
Cas particulier : si f '( xA ) = 0 la tangente sera horizontale. Elle aura pour équation y = f (xA)
Exemple : f(x) = 2x² – 5x + 3. Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point A d'abscisse – 3.
On calcule f '(x). f '(x) = 4x – 5.
On calcule f '(–3).
f '(–3) = – 12 – 5 = – 17.
La tangente a donc une équation du type y = – 17 x + b.
On remplace x par – 3 et y par f(–3) = 18 + 15 + 3 = 36
on a donc 36 = 51 + b ce qui donne b = 36 – 51 = – 15.
L'équation de la tangente à Cf au point A d'abscisse – 3 est donc y = – 17x – 15.
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