OPERATIONS SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES
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Opérations sur les variables aléatoires discrètes
7
OPERATIONS SUR LES VARIABLES
ALEATOIRES DISCRETES
«Rien n’est moins sûr que
l’incertain.»
Pierre DAC
MARCHE D’APPROCHE
4. COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES
4. 1. Le rouge et le noir
Cet exemple sera repris dans tout le chapitre.
Une urne contient 10 boules : 5 blanches, 3 rouges et 2 noires. De cette urne on extrait 3
boules, successivement et sans remise.
Soit X le nombre de boules rouges et Y le nombre de boules noires figurant dans
l’échantillon.
!
Soit Ω l’ensemble des échantillons de 3 boules. Le nombre de ces échantillons est
3
C10
, c’est à dire 120.
Soit X(Ω) et Y(Ω) les univers-images respectifs de X et de Y.
Alors X(Ω) = ’0; 3÷ et Y(Ω) = ’0; 2÷.
!
A chaque échantillon précédent est associé un couple (xi, yi) où xi∈X(Ω) et yi∈Y(Ω).
Soit i∈’0; 3÷ et j∈ ’0; 2÷. Calculons la probabilité, notée pij, de l’événement
!
C i × C2j × C53− i − j
(X = xi)∩(Y = yj) . Alors pij = 3
.
3
C10
Ce qui permet de dresser le tableau suivant où, volontairement pour faciliter les
additions, nous n’avons pas simplifié les fractions :
Y
X
0
1
2
3
Sommes
0
1
2
Sommes
10/120
30/120
15/120
1/120
56/120
20/120
30/120
6/120
0
56/120
5/120
3/120
0
0
8/120
35/120
63/120
21/120
1/120
1
L’ensemble {(xi, yj); pi j} est la loi de probabilité du couple (X, Y) de variables
aléatoires que l’on appelle aussi loi conjointe des variables aléatoires X et Y.
146
4. 2. Lois marginales
! Dans l’exemple précédent, intéressons-nous uniquement à la variable X.
etc....
Chapitre 7
148
Chapitre 7
3. SOMME ET PRODUIT DE VARIABLES ALEATOIRES
3. 1. Somme de deux variables aléatoires
Le rouge et le noir
♦ Les variables aléatoires X et Y sont telles que X(Ω) = ’0; 3÷ et Y(Ω) = ’0; 2÷.
Soit Z = X + Y. Alors Z(Ω) = ’0, 5÷.
!
La loi de probabilité de Z est définie par : p( Z = k ) =
∑ p[( X = i) ∩ (Y = j)] .
i+ j=k
Par exemple : p(Z = 2) = p[(X = 0) ∩(Y = 2)] + p[(X = 1)∩(Y = 1)] + p[(X = 2)∩(Y = 0)],
5
30 15
5
d’où p( Z = 2) =
+
+
= .
120 120 120 12
En utilisant cette méthode on obtient la loi de probabilité de X + Y.
zk
pk
0
1/12
1
5/12
2
5/12
3
1/12
4
0
5
0
Somme
1
♦ Le calcul des espérances mathématiques des variables X, Y, et X + Y conduit à :
9
3
3
E(X) =
, E(Y) = et E(X + Y) = , donc E(X + Y) = E(X) + E(Y).
10
5
2
♦ Le calcul des variances des variables aléatoires X, Y et X + Y conduit à :
49
13
17
V(X) =
, V (Y ) =
et V ( X + Y ) =
, donc V(X + Y) ≠ V(X) + V(Y).
100
25
6
La dame de cœur
En reprenant la même démarche avec cet exemple on obtient :
♦ La loi de probabilité de X + Y
!
zk
pk
0
1
21/32 10/32
2
1/32
Somme
1
♦ Les espérances mathématiques
1
1
3
E(X) = , E(Y) = et E(X + Y) = , donc E(X + Y) = E(X) + E(Y).
8
4
8
♦ Les variances
7
3
19
V(X) =
, V (Y ) =
et V ( X + Y ) =
, donc V(X + Y) = V(X) + V(Y).
64
16
64
Généralisation
♦ Quelles que soient les variables aléatoires discrètes X et Y : E(X + Y) = E(X) + E(Y).
En effet, si X et Y sont définies sur le même univers Ω, alors X + Y est définie sur la
même univers et : E ( X + Y ) =
( X + Y )(ω ) × p {ω } .
!
a f
ω ∈Ω
∑ X (ω ) × pa{ω}f + ∑ Y (ω ) × pa{ω}f ) = E(X) + E(Y).
∑
Alors E ( X + Y ) =
ω ∈Ω
ω ∈Ω
