Exercices chapitre 23 Variables aléatoires

PCSI 1, 2016/2017
Mathématiques
Lycée Berthollet
Exercices chapitre 23
Variables aléatoires
Exercice 1. Le retour des urnes.
Une urne contient 3 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement 3 boules, sans remise.
Notons X le nombre de boules noires obtenues.
Déterminer la loi de X .
Exercice 2. Non, ce n’est pas un dé.
Soit Y une variable aléatoire telle que Y (Ω) = {3, 4, 5, 6}.
Déterminer la loi de Y sachant que P(Y < 5) = 1/3, P(Y > 5) = 1/2, P(Y = 3) = P(Y = 4).
Exercice 3. Non, ce n’est pas la somme.
On lance deux fois un dé et on définit deux variables aléatoires réelles : X désigne le résultat du
premier lancer, Y le résultat du second. On appelle distance entre X et Y la variable aléatoire D =
| X − Y |.
1. Déterminer la loi de D.
2. Quelle est la distance moyenne entre X et Y ?
3. Tracer le graphe de la loi de D.
Exercice 4. Encore un drôle de dé.
On lance un dé équilibré mais dont les faces affichent 1, 4, 9, 16, 25 et 36. On note X le résultat
obtenu. Déterminer la loi de X et calculer E(X ). Commentaire ?
Exercice 5. Loi hypergéométrique.
Une pièce truquée donne pile avec probabilité p et face avec probabilité q = 1 − p (où p ∈]0, 1[). On
lance n fois cette pièce (n ∈ N∗ ).
On note X la variable aléatoire valant 0 si on n’obtient que des faces et prenant la valeur du rang du
premier pile obtenu sinon.
Déterminer la loi de X et son espérance.
n
X
x − x n + 2 (n + 1)x n+1
On rappelle que pour x 6= 1, on a
kx k =
.
−
1− x
(1 − x)2
k=0
Exercice 6. Troisième service.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivants toutes les deux une loi binomiale de
paramètre n ∈ N∗ et p = 12 .
à !
à !
n n 2
X
2n
1. Démontrer
=
. En déduire la probabilité P(X = Y ).
n
k=0 k
2. Montrer que P(X < Y ) = P(Y < X ). En déduire P(X < Y ).
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Exercice 7. C’est la définition.
Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent des lois binomiales de tailles n et m et de
même paramètre p. Peut-on identifier la loi suivie par la variable aléatoire Z = X + Y ?
Exercice 8. Indépendances mélangées.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoires X + Y et X − Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 9. BT.
Une variable aléatoire X suit une loi du binôme de paramètre p et de taille n.
1. Établir pour ε > 0,
¯
µ¯
¶
¯
¯X
p(1 − p)
¯
¯
P ¯ − p¯ Ê ε É
.
n
nε2
2. Que peut-on dire de la répartition des résultats quand n tend vers +∞ ?
Exercice 10. Se renseigner avant de jouer.
Un dé est pipé : la probabilité d’obtenir k est proportionnelle à k pour k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On lance ce
dé et on note X le résultat obtenu.
1. Déterminer la loi de X .
2. Calculer E(X ).
3. On pose Y = (X − 3)2 . Déterminer la loi et l’espérance de Y .
4. On organise le jeu suivant : un joueur paie 10 euros, lance le dé et gagne k2 euros s’il obtient la
face k. Quel est le gain moyen de ce jeu ? Cela vaut-il le coup de jouer ?
Exercice 11. Il ne peut en rester que deux.
Une urne contient une boule rouge, deux boules noires, et trois boules jaunes. On effectue des tirages
successifs sans remise jusqu’à ce qu’il ne reste plus dans l’urne que deux couleurs différentes. Soit X
le nombre de tirages effectués.
Déterminer la loi de X , son espérance et sa variance.
Exercice 12. Fumer nuit gravement à la santé.
Paul a dans sa poche deux boîtes d’allumettes indiscernables : l’une contient 5 allumettes, l’autre 2.
À chaque fois qu’il souhaite fumer une cigarette, il choisit au hasard l’une des deux boîtes. Si la boîte
choisie n’est pas vide, il allume sa cigarette avec une seule allumette puis remet la boîte dans sa
poche. Si elle est vide, il la remet simplement dans sa poche. Il effectue ainsi des tirages successifs
et on note X la variable aléatoire représentant le nombre de cigarettes allumées avant que l’une des
deux boîtes soit vide.
1. Après combien de tirages a-t-on l’une des deux boîtes forcément vide ?
2. Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer sa loi, puis son espérance.
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Exercice 13. Une urne et deux familles de variables aléatoires.
Une urne contient m jetons numérotés de 1 à m (m Ê 2). On effectue N tirages successifs (N Ê 1).
Chaque tirage consiste à prendre un jeton dans l’urne, noter son numéro, puis remettre le jeton dans
l’urne. Pour tout entier i compris entre 1 et m, on définit les variables aléatoires F i et X i comme suit :
— F i est le nombre de fois où le jeton numéroté i a été tiré ;
— X i prend la valeur 0 si le jeton numéroté i n’a pas été tiré et prend la valeur 1 si le jeton numéroté
i a été tiré au moins une fois.
1. Étude des variables aléatoires F i
(a) Pour tout i compris entre 1 et m, déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire F i .
m
P
(b) On considère la variable aléatoire F =
F i . Que vaut F ? Calculer l’espérance et la variance
de F.
i =1
(c) Est-ce que les variables aléatoires F i sont deux à deux indépendantes ?
2. Étude des variables aléatoires X i
(a) Pour tout i compris entre 1 et m, déterminer l’espérance et la variance de la variable aléaµ
¶
1 N
toire X i . On posera p = 1 − 1 −
.
m
(b) Soient i et j deux entiers distincts compris entre 1 et m. Déterminer la probabilité pour que
X i = 0 sachant que X j = 0. Est-ce que les variables aléatoires X i et X j sont indépendantes ?
m
X
(c) Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X =
X i.
i =1
Exercice 14. Le début de la fortune.
Un plateau est constitué de 25 cases. Derrière deux de ces cases se cache une pièce d’or. On fixe un
entier n ∈ [[1, 25]] et on retourne n cases au hasard. Soit X n la variable aléatoire égale au nombre de
pièces découvertes.
Déterminer la loi de probabilité de X n , ainsi que son espérance.
Exercice 15. Un service efficace et ponctuel. Enfin, presque.
Un service après-vente dispose d’équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur
appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendantes, et la probabilité qu’un retard
se produise dans le dépannage à la suite d’un appel est p = 1/4.
1. Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce
client a subi. Donner la loi de probabilité de X . Calculer E(X ) et V (X ).
2. On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d’entre eux sont mécontents parce qu’ils ont
subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi
les 4 contactés. Donner explicitement la loi de M. Calculer E(M).
Exercice 16. Impossible d’échapper à l’urne.
Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules avec
remise. S’il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3. Soit X n le nombre de boules
blanches et Yn le nombre de points obtenus.
1. Déterminer la loi de X n , puis E(X n ) et V (X n ).
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2. Exprimer Yn en fonction de X n . En déduire la loi de Yn , puis E(Yn ) et V (Yn ).
Exercice 17. 20 faces, mais 3 numéros.
Un dé comporte 20 faces marquées dont 7 faces numérotées 1, 8 faces numérotées 2, 5 faces numérotées 3. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé et on note X n( i) le nombre de faces
numérotées i obtenues au cours des n lancers.
1. Donner les lois des X n( i) ainsi que leurs espérances et leurs variances.
2. Lors des n lancers, pour chaque face numérotée 1 (resp. 2,3) obtenue on gagne 1 euro (resp. −2
euros, resp. a euros). Pour quelles valeurs de a le gain moyen du jeu est-il positif ?
Exercice 18. Une loi conjointe.
On considère un couple de variables aléatoires (X , Y ) prenant les valeurs (i, j) avec la probabilité p i j
donnée dans le tableau ci-dessous :
1. Vérifier la loi de (X , Y ).
2. Déterminer les lois marginales de X et de Y . X et Y
son-elles indépendantes ?
3. Calculer l’espérance et la variance de X et de Y .
4. Soit (i, j) ∈ [[1, 3]] × [[0, 3]]. Donner les lois conditionnelles de Y( X = i) et X (Y = j) .
HH
Y
H
HH 0
X
H
1
0,1
2
0,1
3
0,1
1
2
3
0,2
0
0
0,1
0
0,2
0,1
0,1
0
5. Déterminer la loi de la variable V = min(X , Y ).
Exercice 19. Un exemple de loi conditionnelle.
On s’intéresse à la reproduction d’une variété de plantes. Pour cela, on observe le nombre de plantes
issues de la reproduction d’une plante-parent. On note X le nombre de ses descendants et on suppose
que X suit une loi uniforme sur {0, .., 9}.
1. Combien cette plante a-t-elle de descendants en moyenne ?
2. De plus, chaque descendant de la plante-parent a en fait 20% de chances d’être stérile. On note
Y le nombre de descendants stériles.
(a) X et Y sont-elles indépendantes ?
(b) Pour (n, i) ∈ {0, .., 9}2 , calculer P(Y = i | X = n)
(c) En déduire P((Y = i) ∩ (X = n)) puis exprimer P(Y = i) sous forme d’une somme.
(d) Calculer E(Y ). Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Exercice 20. Une urne pour finir.
On tire, avec remise, cinq boules d’une urne contenant dix boules numérotées de 1 à 10. On note X la
variable égale au maximum des cinq numéros obtenus et Y la variable égale au minimum des cinq
numéros obtenus.
1. Déterminer X (Ω) et Y (Ω).
2. Calculer P(X É k) pour k ∈ X (Ω) et P(Y Ê k) pour k ∈ Y (Ω).
En déduire les lois de X et Y .
3. Donner la loi conjointe de (X , Y ).
4. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
5. Donner la loi conditionnelle de X (Y =5) .
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