2014-2015 Logique Raisonnement par l’absurde Pour prouver qu’une proposition P est vraie, on suppose que P est fausse et on aboutit à une contradiction. Exemple 1 Démontrons par l’absurde que 0 n’a pas d’inverse. On suppose que 0 a un inverse a, alors a × 0 = 1. Or, 0 × a = 0, on aboutit donc à 0 = 1, ce qui est absurde. Donc 0 n’a pas d’inverse. Exemple 2 Démontrons par l’absurde que : pour tout nombre réel x 6= −2, on a x+1 6= 1. x+2 x+1 = 1. x+2 x+2 Pour tout réel x 6= −2, = 1 ⇐⇒ x + 2 = x + 1 ⇐⇒ 2 = 1, ce qui est absurde. x+1 x+2 On a donc : pour tout réel x 6= −2, 6= 1. x+1 On suppose qu’il existe un nombre réel x 6= −2 tel que Exemple 3 √ Démontrons, par l’absurde, que 2 est un nombre irrationnel. √ On suppose que 2 est un nombre rationnel. √ p Il s’écrit donc 2 = , avec p et q deux entiers naturels premiers entre eux. q √ On en déduit alors p = q 2 puis p2 = 2q 2 . p2 est donc un nombre pair, et par conséquent p est un nombre pair (pour une démonstration, voir fiche raisonnement par contraposée), il s’écrit p = 2p′ , p′ étant un entier naturel. On a alors (2p′ )2 = 2q 2 ⇐⇒ 4p′2 = 2q 2 ⇐⇒ 2p′2 = q 2 . On en déduit, de même que précédemment, que q est un nombre pair. On aurait donc p et q pairs, ce qui absurde car on a supposé que p et q étaient premiers entre eux. √ On en conclut donc que 2 est un nombre irrationnel. 1