Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum
1.
Le raisonnement par l’absurde.
« Le raisonnement par l'absurde (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec
ancien apagôgê) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant
soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition
complémentaire (ou "contraire"), soit à montrer la fausseté d'une autre proposition en en
déduisant logiquement des conséquences absurdes. »
http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
2.
Exemples de preuves par l’absurde
Théorème (Euclide -300, IX.20) Il existe une infinité de nombres premiers1.
dém. Par l’absurde ! Supposons que non. Il existe donc un nombre fini de nombres premiers :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; … ; pn (le n-ième et le dernier nombre premier). Considérons le nombre
N = 1 + 2 ! 3! 5 !...! pn . Ce nombre N doit forcément être composé (car il est > pn) et donc divisible
par un nombre premier pk (cf. Euclide.VII.32). D’où N = pk ! M (avec M !! ) . Mais alors
pk !{2 ; 3 ; 5 ; ... ; pn } . Ceci est absurde, car nous aurions alors 1 qui serait un multiple de pk :
1 = N ! 2 " 3" 5 "..." pn = pk " M ! pk "(2 " 3" 5 "...pk!1 " pk+1 "...." pn ) = pk " [ M ! 2 " 3"...pk!1 " pk+1 "...." pn ] .
Théorème (Euclide -300, Livre X, Proposition 67). 2 est irrationnel2
Démonstration par l’absurde : supposons que
2 !! .
Il existe donc a et b des entiers positifs avec pgcd(a,b)=1 tels que
2=
a
b
(car toute fraction admet une forme irréductible). Élevons au carré, multiplions par b2, il vient
alors : 2b2 = a2 . (**)
Lemme. Si le carré d’un entier est pair alors l’entier en question est pair.
En effet : tout impair peut s’écrire sous la forme 2n+1, qui au carré égale
4n2 +4n+1 = 2(2n2 +2n)+1 est un impair (donc le carré d’un impair est forcément impair).
Revenons à nos a et b : par le lemme on a alors que a = 2c où c !! , que l’on substitue dans
(**) pour obtenir : 2b2 = 4c2 c’est-à-dire b2 = 2c2, ce qui est absurde, car à nouveau par le
lemme b serait aussi pair. Or nous avions imposé que pgcd(a,b)=1 ! Notre hypothèse de départ
( 2 !! ) sur laquelle s’appuyait tout notre raisonnement devait donc être fausse.
Proposition.
a) Si α est irrationnel et b est rationnel alors α + b est irrationnel.
b) Si α est irrationnel et b est rationnel (≠ 0) alors α · b est irrationnel.
Preuve. Par l’absurde !
a) Sinon, ! + b = c "! . Mais dans ce cas nous aurions alors ! = c " b #! .
b) Sinon, ! "b = c #! . Mais dans ce cas nous aurions alors ! = c ÷ b "! .
1 La formulation dans le Livre IX, Proposition 20 des Eléments est : Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposée. 2
L’énoncé d’Euclide est formulé dans un langage géométrique : il démontre que la diagonale
d’un carré est incommensurable avec le côté du carré.
Conclusion. Il existe bien une infinité de nombres irrationnels et l’on peut même démontrer (en
Math niv. 2 uniquement) qu’il existe une infinité non dénombrable d’irrationnels !!!
Théorème (G. Cantor, 1891). Les nombres réels sont indénombrables
Preuve que l’intervalle I = ]0 ;1[ est indénombrable. Par l’absurde !
Supposons qu’il existe une bijection de !* sur I qui envoie i ! ai où ai !]0;1[ que l’on écrit
sous forme décimale :
1 ! a1 = 0,b11b12 b13b14 b15 ...
2 ! a2 = 0,b21b22 b23b24 b25 ...
3 ! a3 = 0,b31b32b33 b34 b35 ...
"
#
Posons c = 0,b11b22 b33 ... le nombre diagonal transfiguré, où chaque bii est un chiffre compris
entre 1 et 8 différent de bii . Il s’ensuit que le nombre c est bien compris entre 0 et 1 mais qu’il
ne peut figurer dans la liste. D’où il n’y avait pas bijection entre ! et I.