math 30411 Module 6 partie 2

Module 6 (10 cours)
L’ALGÈBRE – Équations trigonométriques
◊ Résolution d’équations trigonométriques
5.2 Résolvons des équations trigonométriques
Lorsqu’on a tracé les graphiques des fonctions sinus et cosinus, on a bien vu que plusieurs valeurs donnent la
même réponse de façon à créer une suite. Essayons de trouver toutes les valeurs possibles pour x, lorsqu’on
connaît la valeur de y.
Ex : Utilisons un diagramme sommaire pour résoudre une équation trigonométrique.
Utilise le diagramme de y = sin4x pour trouver toutes les valeurs où y = 0 dans l’intervalle
A=
0 ≤ x ≤ 2π .
P=
Sin4x = 0, pour x =
π π
π 2 π 5π
6
2
3
3 6
7 π 4 π 3π 5π 11π
6 3 2 3 6
On sait que les angles co-terminaux ont les mêmes valeurs, donc tous les angles co-terminaux seront des
multiples de la période de la fonction.
Ex : résolvons des équations du premier degré
Si 1 + sinx = 4sinx,
0 ≤ x ≤ 2π , trouve les valeurs possibles de x algébriquement et graphiquement.
Solution : on veut savoir où ces deux graphiques se coupent.
π
2
Algébriquement :
1 + sinx = 4sinx
rad
= 1570796
,
π = 3,14159 rad
0 rad
1 = 4sinx – sinx
1 = 3 sinx
3π
2
= 4,712388 rad
1
/3 = sinx, sur la calculatrice, on fait sin-1(1/3) =0,3398 dans le
quadrant I et π - 0,3398 dans le quadrant II, (endroits où le sinus est
positif)
Les valeurs possibles pour x, si
0 ≤ x ≤ 2π sont 0,3398 rad et 2,8018 rad.
Ex : Trouvons les racines exactes d’équations trigonométriques du second degré.
cos2(2x) – cos 2x = 0
cos 2x(cos 2x – 1) = 0 donc,
cos 2x = 0
ou
cos 2x – 1 = 0
π
3π
2x = 2 et 2
cos 2x = 1
x=
2
π
4
et 34π
Les solutions exactes de cos x – cos x = 0,
Quand il y a un
nombre avec x, on
résout de la même
façon, mais on
divise par le
nombre.
2x = 0; x = 0
0 ≤ x ≤ 2π , x =0,
π
4
et 34π
Module 6 – équations trigonométriques - Page 1
Ex : Trouvons les racines exactes d’équations trigonométriques du second degré.
2 sin2x – sin x – 1 = 0
2 sin2x – 2 sin x + sin x – 1 = 0
2 sin x(sin x – 1) + 1(sin x – 1) = 0
(sin x – 1)(2 sin x + 1) = 0 donc,
sin x = 1
ou
sin x = -1/2
x=
π
x=
2
Les solutions exactes de 2 sin2x – sin x – 1 = 0,
− π6 et − 56π
0 ≤ x ≤ 2π , x = π2 , − π6 et − 56π
Lorsqu’on ne peut pas décomposer en facteurs une équation quadratique, on la résout à l’aide de la formule
quadratique.
Ex : 3 tan2x – tan x – 1 = 0, si
La formule quadratique
0 ≤ x ≤ 2π .
tanx =
−b ± b2 − 4ac −( −1) ± ( −1)2 − 4(3)( −1) 1 ± 1 + 12 1 ± 13
=
=
=
2a
−2
−2
2( −1)
Donc, tan x = -0,4343
ou tan x = 0,7676.
-1
On fait donc tan sur la calculatrice pour trouver l’angle ne radian.
tan-1 (0,4343) = 0,4097
tan-1 (0,7676) = 0,6547
e
Donc dans le 2 quadrant
π - 0,4097 = 2,7319
dans le 3e quadrant
e
dans le 4 quadrant
π + 0,6547 = 3,7963
2 π - 0,4097 = 5,8735
Les solutions de 3 tan2x – tan x – 1 = 0, si
0 ≤ x ≤ 2π , au dix-millième près sont 0,6547, 2,7319, 3,7963, 5,8735.
Si on veut toutes les solutions, on ajoute n x la période ou bout de la réponse.
Ex : Trouve toutes les solutions possibles de l’équation suivante.
Sin x tan x = sin x
Sin x tan x – sin x = 0
Sin x(tan x – 1) = 0
Sin x = 0
tan x = 1
X = 0 ou x = π
x = π4 ou x =
5π
4
Alors, si la période de la fonction sin x est de 2 π , et la période de la fonction tan est de
générales seront 0 + 2n π ,
Ex 5.2 : p.252
π
+ 2n π ,
π
4
+
πn
π , les solutions
# 1, 3, 5, 11, 15, 18, 21, 27, 29, 30, 32, 34
Module 6 – équations trigonométriques - Page 2
◊ Identités trigonométriques
5.4 Les identités trigonométriques
Remplis le tableau suivant :
Mesure de ∠θ
0°
30°
45°
60°
90°
sin θ
0
1
2
2
2
3
2
1
cos θ
1
3
2
2
2
1
2
0
 3   1 2 3 1


 2  +  2  = 4 + 4 = 1


12 + 02 = 1
sin2 θ + cos2 θ
02 + 12 = 1
2
2
2
1 3
 1   3 
= + =1
  +

2
2
4
4
  

2
 2  2
2 2

 

 2  + 2  = 4 + 4 =1

 

2
Que remarques-tu avec sin2 θ + cos2 θ ?
Il est toujours égale à 1.
Une équation trigonométrique est une équation qui comporte au moins une fonction trigonométrique d’une
variable. Si cette équation est vraie pour toutes les valeurs de la variable qui définissent ses deux membres, on
l’appelle identité trigonométrique.
Identités trigonométriques de base ; elles sont vraies pour toutes les valeurs de
des membres de l’équation non défini.(0 au dénominateur)
sinθ =
1
sinθ
=
,
cotanθ cosθ
1
,
cosecθ
cosθ =
1
,
secθ
tanθ =
1
,
sinθ
secθ =
1
,
cosθ
cotanθ =
cosecθ =
Alors, on peut ajouter à ces identités
sin2 θ + cos2 θ = 1
θ , sauf celles qui rendent un
1
cosθ
=
tanθ sinθ
1 + tan2 θ = sec2 θ
1 + cotan2 θ = cosec2 θ
Pour démontrer les identités, il faut choisir un des côtés, le travailler pour arriver à ce qu’il y a de l’autre côté
du signe d’égalité.
Ex : Montre que 1 + tan2 θ = sec2 θ pour tout nombre réel
2
1 + tan
sinθ
Parce que tanθ =
, cos θ ≠ 0
cosθ
Place les fractions sur dénominateur
commun.
Remplace sin2 θ + cos2 θ par 1
Remplace
1
par secθ
cosθ
1+
θ
θ
tel que cos θ
= sec
2
≠ 0.
θ
sin2θ
= sec2 θ
2
cos θ
cos2θ + sin2θ
= sec2θ
2
cos θ
1
= sec2θ
2
cos θ
sec2θ = sec2θ
Module 6 – équations trigonométriques - Page 3
Ex : Utilisons les valeurs exactes pour vérifier une identité.
Soit
a) Vérifie si cet énoncé est vrai lorsque
cosθ
1 + sinθ
=
1 − sinθ
cosθ
θ=
π
6
.
cos π6
1 + sin π6
=
1− sin π6
cos π6
3
1
1+
2 =
2
1
3
1−
2
2
3 2+1
2 = 2
1
3
2
2
3 2
3= ×
2
3
3=
3
3 3 3
×
=
3
3
3
3= 3
b) Représente graphiquement l’équation pour montrer qu’elle pourrait être une identité.
cosθ
1 + sinθ
=
1 − sinθ
cosθ
c) Utilise une démarche algébrique pour prouver que l’identité est vraie en général. Indique les restrictions
s’il y a lieu.
cosθ
1 + sinθ
=
1 − sinθ
cosθ
1 + sinθ
cosθ
1 + sinθ
×
=
1 + sinθ 1 − sinθ
cosθ
(1 + sinθ )cosθ 1 + sinθ
=
1 - sin2θ
cosθ
(1 + sinθ )cosθ 1 + sinθ
=
cos2θ
cosθ
1 + sinθ 1 + sinθ
=
cosθ
cosθ
Ex : 5.4 p.264
# 1 à 10(algébriquement seulement), 11 à 20, 26 à 33(simplifier seulement)
Module 6 – équations trigonométriques - Page 4
5.5 Utilisons les identités d’addition, de soustraction et d’angles doubles
Identités d’addition et de soustraction
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
sin(A - B) = sinAcosB – cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
tan(A + B) =
tanA + tanB
π
, où A,B ≠ + nπ
1 − tanAtanB
2
tan(A − B) =
tanA − tanB
π
, où A,B ≠ + nπ
1 + tanAtanB
2
Identités d’angles doubles
sin(A + A)
cos(A + A)
= sinAcosA + cosAsinA
= cosAcosA – sinAsinA
= 2cosAsinA,
= cos2A – sin2A
= 1 – sin2A – sin2A
sin2A = 2cosAsinA
= 1 – 2sin2A
ou cos2A – (1 – cos2A)
2cos2A - 1
cos2A = 1 – 2sin2A
ou
cos2A = 2cos2A – 1
tan(A + A)
=
tanA + tanA
1 − tanAtanA
=
2tanA
π
, où A,B ≠ + nπ
2
1 − tan A
2
tan2A =
2tanA
1 − tan2A
ex : Exprime chaque expression sous la forme d’une fonctions trigonométrique simple.
a)
sin
5π
3π
5π
3π
cos
− cos sin
6
8
6
8
= sin(
= sin(
Ex : 5.5 p.272
5π 3π
- )
6 8
b)
tan30°+ tan45°
1 − tan30° tan45°
= tan(30°+45° ) = tan75°
11π
20π 9π
- ) = sin
24 24
24
# 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 40, 43abcd
Ex. de révisions p. 278
#
9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49
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