x - loi de composition interne induite par une relation d`ordre

X - LOI DE COMPOSITION INTERNE
INDUITE PAR UNE RELATION D’ORDRE
Proposition 1 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre large notée ≺, vérifiant la propriété
(I) pour tout couple (x, y) de E × E, l’ensemble {x, y} possède une borne supérieure. Cet élément
nécessairement unique est noté x⊤y.
On définit ainsi sur E une loi de composition interne ⊤, associative, commutative, vérifiant la
propriété
(i) pour tout élément x de E,
x⊤x = x .
De plus, on a l’équivalence
(x ≺ y) ⇐⇒ (x⊤y = y) .
• La commutativité est évidente.
• Par définition de ⊤, et en utilisant la transitivité de la relation d’ordre, on obtient
z ≺ (x⊤y)⊤z
x ≺ x⊤y ≺ (x⊤y)⊤z
y ≺ x⊤y ≺ (x⊤y)⊤z
donc (x⊤y)⊤z est un majorant de l’ensemble {x, y, z}. Le même raisonnement, montre que x⊤(y⊤z)
est aussi un majorant de cet ensemble.
Soit u un majorant de {x, y, z}. Cet élément majore {x, y} et {y, z}, donc majore x⊤y et y⊤z. Alors
il majore les ensembles {x⊤y, z} et {x, y⊤z}. Il s’en suit que u majore à la fois (x⊤y)⊤z et x⊤(y⊤z).
En prenant successivement pour u un de ces éléments, on obtient
(x⊤y)⊤z ≺ x⊤(y⊤z) et x⊤(y⊤z) ≺ (x⊤y)⊤z
d’où l’égalité
(x⊤y)⊤z = x⊤(y⊤z) .
La loi ⊤ est bien associative.
• Comme x est la borne supérieure de l’ensemble {x}, on a bien
x⊤x = x .
• Enfin la relation x ≺ y, se traduit par le fait que y est la borne supérieure de l’ensemble {x, y}, donc
par l’égalité
x⊤y = y .
X 2
Proposition 2 Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne notée ⊤, commutative,
associative et vérifiant (i). On définit sur E une relation binaire notée ≺ par
(x ≺ y) ⇐⇒ (x⊤y = y) .
Alors, la relation ⊤ est une relation d’ordre sur E et x⊤y est la borne supérieure de l’ensemble
{x, y}.
• La réflexivité provient de (i).
• Si l’on a à la fois
x≺y
et y ≺ x
on obtient
x⊤y = y
et y⊤x = x ,
mais, en raison de la commutativité de ⊤,
x = y⊤x = x⊤y = y .
La relation ≺ est donc antisymétrique.
• Si l’on a
x≺y
et y ≺ z
alors
x⊤y = y
et
y⊤z = z ,
donc
x⊤z = x⊤(y⊤z) = (x⊤y)⊤z = y⊤z = z
c’est-à-dire
x≺z
et la relation ≺ est transitive. C’est donc une relation d’ordre.
• D’autre part
x⊤(x⊤y) = (x⊤x)⊤y = x⊤y
ce qui montre que
x ≺ x⊤y ,
et
y⊤(x⊤y) = y⊤(y⊤x) = (y⊤y)⊤x = y⊤x = x⊤y
ce qui montre que
y ≺ x⊤y .
X 3
Donc x⊤y est un majorant de l’ensemble {x, y}.
Soit maintenant u un majorant de cet ensemble. Donc
x≺u
et y ≺ u ,
donc
x⊤u = u
et y⊤u = u .
Alors
(x⊤y)⊤u = x⊤(y⊤u) = x⊤u = u
et donc
x⊤y ≺ u
ce qui montre que x⊤y est le plus petit majorant de {x, y}.
Une relation d’ordre vérifiant les propriétés de la proposition 1 et une loi interne vérifiant celles de la
proposition 2 sont donc liées canoniquement par l’équivalence
(x ≺ y) ⇐⇒ (x⊤y = y) .
Proposition 3 La relation d’ordre ≺ est compatible avec la loi ⊤, et, si pour tout z de E, on a
x⊤z ≺ y⊤z
alors x et y sont égaux.
• Si l’on a
x≺y
c’est-à-dire
x⊤y = y
alors, pour tout z de E,
(x⊤z)⊤(y⊤z) = (x⊤y)⊤(z⊤z) = y⊤z
donc
x⊤z ≺ y⊤z ,
ce qui montre la compatibilité de la loi ⊤ par rapport à la relation ≺.
• Si pour tout z de E on a
x⊤z ≺ y⊤z
en prenant z = y, on obtient
x ≺ x⊤y ≺ y⊤y = y
donc
x ≺ y.
X 4
Proposition 4 La relation d’ordre ≺ est totale, si et seulement si, pour tout couple (x, y) de
E × E, l’élément x⊤y appartient à {x, y}.
Dire que la relation d’ordre ≺ est totale équivaut à dire que pour tout couple (x, y) de E × E, on a,
soit x ≺ y, soit y ≺ x, c’est-à-dire , soit x⊤y = y, soit y⊤x = x. Cela revient bien à dire que x⊤y
appartient à {x, y}.
Proposition 5 L’ensemble E possède un plus petit élément pour la relation d’ordre ≺, si et
seulement si E possède un élément neutre e pour la loi ⊤. Le plus petit élément de E est alors e.
Dire que pour tout x de E on a e ≺ x revient à dire que, pour tout x de E, on a e⊤x = x, c’est-àdire que e est l’élément neutre de E pour la loi ⊤.
Exemples
1) Soit A un ensemble quelconque et E = P(A).
– A la relation d’ordre définie par
(a ≺ b) ⇐⇒ (a ⊂ b)
est associée la loi ⊤ définie par
a⊤b = a ∪ b .
– A la relation d’ordre définie par
(a ≺ b) ⇐⇒ (a ⊃ b)
est associée la loi ⊤ définie par
a⊤b = a ∩ b .
2) Soit E = N∗ .
– A la relation d’ordre définie par
(a ≺ b) ⇐⇒ (a | b)
est associée la loi ⊤ définie par
a⊤b = PPCM(a, b) .
– A la relation d’ordre définie par
(a ≺ b) ⇐⇒ (b | a)
est associée la loi ⊤ définie par
a⊤b = PGCD(a, b) .
3) Soit E un intervalle non vide de R.
– A la relation d’ordre totale définie par
(a ≺ b) ⇐⇒ (a ≤ b)
est associée la loi ⊤ définie par
a⊤b = max(a, b) .
X 5
– A la relation d’ordre définie par
(a ≺ b) ⇐⇒ (a ≥ b)
est associée la loi ⊤ définie par
a⊤b = min(a, b) .
Proposition 6
x de E on ait
Soit E un anneau commutatif pour les lois notées “+” et “·”, tel que, pour tout
x2 = x .
Il existe une relation d’ordre ≺ unique sur E telle que
inf(x, y) = x · y
sup(x, y) = x + y − x · y .
et
Cette relation est compatible avec la multiplication. De plus
inf E = 0
et, si E est unitaire
sup E = 1 .
Comme
x·x=x
la relation ≺1 définie par
x·y =y
est la seule relation d’ordre définie sur E telle que
sup(x, y) = x · y .
1
cette relation est de plus compatible avec la loi “·”, et puisque 1 est le neutre pour cette loi, on a
inf E = 1 .
1
Posons
x⋆y = x+y−x·y.
La loi ⋆ est une loi de composition interne commutative sur E. On a
x ⋆ (y ⋆ z) = x + y + z − x · y − x · z − y · z + x · y · z = (x ⋆ y) ⋆ z ,
et la loi est associative. De plus, pour tout x de E,
x ⋆ x = x.
X 6
Il existe donc une relation d’ordre ≺2 définie sur E telle que
(x ≺2 y) ⇐⇒ (x ⋆ y = y) ,
et
sup(x, y) = x ⋆ y ,
2
et puisque 0 est le neutre pour cette loi, on a
inf E = 0 .
2
Mais alors, puisque
x ⋆ y = y + (x − y · x) ,
on a donc
(x ⋆ y = y) ⇐⇒ y · x = x ,
donc x ≺2 y équivaut à y ≺1 x. Il suffit donc de prendre pour ≺ la relation ≺2 pour avoir le résultat
annoncé.
Exemple
Si E est l’ensemble des applications d’un ensemble A dans Z/2Z avec la structure d’anneau commutatif
induite par celle de Z/2Z, la relation d’ordre que l’on obtient est la relation induite par celle définie
sur Z/2Z de la manière suivante
0 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 1.
Si l’on prend pour E l’ensemble des parties d’un ensemble A avec la structure d’anneau commutatif
donnée par les lois ∆ et ∩, la relation d’ordre est alors l’inclusion. Dans ce cas ∅ est l’élément neutre
pour ∆, et l’on a U ∆ U = ∅, donc U est son propres symétrique. Alors
sup(U, V ) = U ∆ V ∆ (U ∩ V ) = U ∪ V .
Ces deux exemples sont d’ailleurs les mêmes à un isomorphisme près. On passe du second au premier par l’application qui à une partie A associe sa fonction caractéristique. Cette application est un
isomorphisme d’anneaux et conserve la relation d’ordre.