Preuve du théorème des valeurs intermédiaires par la borne sup

Lycée du Parc
Preuve du théorème des valeurs
intermédiaires par la borne sup
PCSI 843
2012-2013
Le but est donner une seconde démonstration du théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème :
Soient une fonction f continue sur un intervalle I, a < b ∈ I et y un réel compris entre f (a)
et f (b), alors il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = y.
Exercice
1. Soit A une partie majorée de R, démontrer l’équivalence entre les trois assertions suivantes :
(i) M est la borne sup de A.
(ii) M est un majorant de A et pour tout ǫ > 0, il existe x ∈ A, tel que M − ǫ ≤ x ≤ M.
(iii) M est un majorant de A et il existe une suite un d’éléments de A qui converge vers
M.
2. Montrer que l’on peut supposer pour la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires que f (a) < y < f (b). (penser éventuellement à poser g = −f )
3. On suppose f (a) < y < f (b). Soit
B = {x ;
x ∈ [a, b] et f (x) < y}.
(a) Montrer que B est non vide majoré, on pose c = sup B.
(b) Montrer c 6= b.
(c) Comparer f (x) et y pour x ∈]c, b].
(d) Montrer que f (c) = y. (Penser à la caractérisation séquentielle de la continuité.)
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Corrigé :
1. Montrons que (ii) implique (i) :
M est majorant de A et sup A est le plus petit des majorant donc sup A ≤ M. De plus,
pour tout ǫ > 0, il existe x ∈ A, tel que A − ǫ ≤ x ≤ A, on en déduit que pour tout ǫ > 0,
M − ǫ < sup A. Il en résulte que M ≤ sup A. On conclut donc sup A = M.
Montrons que (iii) implique (ii) :
M est un majorant de A et il existe une suite un d’éléments de A qui converge vers M.
On a donc pour tout ǫ > 0, il existe n0 tel que si n ≥ n0 alors |un − M| ≤ ǫ. On a donc
M − ǫ ≤ un0 ≤ M + ǫ. Comme un0 ∈ A, on a un0 ≤ M. On conclut que M − ǫ ≤ un0 ≤ M.
Montrons que (ii) implique (iii) :
Comme M est un majorant de A et que pour tout ǫ > 0, il existe x ∈ A, tel que
M − ǫ ≤ x ≤ M. On peut prendre ǫ = n1 et lui associé un élément un de A, on a alors
|un − M| ≤ n1 . On a donc bien lim un = M.
n
Montrons que (i) implique (ii) :
Pour cela, montrons que non (ii) implique non (i) :
La négation de (ii) donne
M n’est pas un majorant de A ou il existe ǫ > 0, tel que pour tout x ∈ A,
x 6∈ [M − ǫ, M].
Si M n’est pas un majorant, il n’est pas la borne sup.
On peut donc supposer que M est un majorant de A et il existe ǫ > 0, tel que pour tout
x ∈ A, x 6∈ [M − ǫ, M].
On a donc pour tout x ∈ A, x ≤ A et x 6∈ [M − ǫ, A]. donc x < A − ǫ. On en déduit que
M − ǫ est un majorant de A, donc M n’est pas le plus petit des majorants.
2. Si f (a) = f (b), la seule valeur possible pour y est f (a) et le théorème des valeurs intermédiaires est vérifié en prenant c = a. Pour le cas f (a) = y, on prend c = a. Pour le
cas f (b) = y, on prend c = b. On peut donc supposer f (a), f (b) et y distincts. Puis si
f (a) > f (b), on pose g = −f et alors g(a) < g(b) et −y compris entre g(a) et g(b). On
démontre alors le théorème des valeurs intermédiaires pour g.
3. Soit
B = {x ;
x ∈ [a, b] et f (x) < y}.
(a) B contient a et est majoré par b.
(b) Supposons que c = b, grâce à la caractérisation de la borne sup de la question 1,
il existe une suite un de B qui converge vers b et pour tout entier n, f (un ) < y.
Par passage à la limite comme f est continue en b on obtient f (b) ≤ y, ce qui est
contradictoire avec l’hypothèse y < f (b).
(c) Si x ∈]c, b], alors x 6∈ B donc y ≤ f (x). .
(d) Comme c est la borne sup de B, il existe une suite d’éléments un de B qui converge
vers c. On a, pour tout entier n, f (un ) < y et par passage à la limite comme f
continue en c f (c) ≤ y. Par passage à la limite à droite grâce à la question précédente,
on a par continuité de f en c, y ≤ f (c). On conclut donc bien que f (c) = y.
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