CV_MathsInformatique:EP 30/09/13 14:43 Page 1 Cet ouvrage présente les concepts et les outils mathématiques de base que tout étudiant en première et deuxième années de Licence Informatique doit maîtriser : initiation au raisonnement mathématique et à la modélisation de problèmes concrets mais aussi méthodes et applications fondamentales de l’analyse numérique. Plus de 200 exercices corrigés complètent le cours et permettent aux étudiants de s’entraîner efficacement. Sommaire Partie I. Analyse 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 2. Étude des fonctions réelles d’une variable réelle 3. Séries numériques 4. Intégration des fonctions réelles d’une variable réelle 5. Équations différentielles 13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues 14. Notions de convergence Partie II. Algèbre 6. Espaces vectoriels et applications linéaires 7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires 8. Diagonalisation des endomorphismes – matrices 9. Polynômes et fractions rationnelles 10. Applications bilinéaires et formes quadratiques Partie V. Analyse numérique 18. Introduction à l’analyse numérique 19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires 20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 21. Résolution des équations non linéaires 22. Méthodes d’intégration numérique Partie III. Probabilités 11. Notion de probabilité 12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes Corrigés des exercices Partie IV. Statistiques 15. Statistique descriptive 16. Échantillonnage et estimation 17. Tests d’hypothèse et tests de comparaison Annexe Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre matricielle rapide. Chercheur à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis (LAMSIN), il enseigne actuellement à l’Institut Supérieur des Arts du Multimédia de la Manouba (Tunisie). Il est également Maître assistant et Directeur des Études et des Stages à l'ISAMM. Maître assistant à l’Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse (Tunisie), Anis Ben Aïssa est spécialiste des probabilités et statistiques. ISBN 978-2-311-01241-5 WWW.VUIBERT.FR 9 782311 012415 LICENCE 1 & 2 INFORMATIQUE Mathématiques Cours & exercices corrigés Mathématiques pour l’informatique Mathématiques pour l’informatique Skander Belhaj & Anis Ben Aïssa LICENCE 1 & 2 INFORMATIQUE Skander Belhaj Anis Ben Aïssa pour l’informatique • Cours complet • Méthodes et applications fondamentales • Exercices d’entraînement corrigés i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page VIII — #6 i i i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page III — #1 i i Table des matières Analyse 1 Nombres réels, nombres complexes 1.1 L’ensemble des réels . . . . . . . . 1.2 L’ensemble des complexes . . . . . 1.3 Les suites . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 1 et suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 12 17 2 Étude des fonctions réelles d’une variable réelle 2.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Complément sur les fonctions classiques . . . . . 2.6 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Fonctions équivalentes, définition et opérations . 2.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 23 28 31 32 36 37 44 45 46 3 Séries numériques 3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . 3.5 Série quelconque. Convergence absolue. 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 51 52 53 54 55 variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 60 62 63 4 Intégration des fonctions réelles d’une 4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Techniques de calcul d’une intégrale . 4.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page IV — #2 i IV i Table des matières 5 Équations différentielles 5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre 5.2 Étude de l’équation avec second membre . . . . . . 5.3 Équations différentielles linéaires du second ordre . 5.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre 65 65 66 67 68 69 71 6 Espaces vectoriels et applications linéaires 6.1 L’espace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . 6.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . 6.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Matrices, déterminant et systèmes linéaires 7.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . 7.3 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . 89 . 101 . 107 . 113 matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Diagonalisation des endomorphismes 8.1 Valeurs propres et vecteurs propres . 8.2 Caractéristique d’une valeur propre . 8.3 Diagonalisation d’une matrice carrée 8.4 Application de la diagonalisation . . 8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 74 76 78 81 84 117 117 118 120 123 124 9 Polynômes et fractions rationnelles 127 9.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10 Applications bilinéaires et 10.1 Applications bilinéaires 10.2 Formes quadratiques . . 10.3 Exercices . . . . . . . . Probabilités formes . . . . . . . . . . . . . . . quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 139 142 145 149 11 Notion de probabilité 151 11.1 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.2 Probabilités conditionelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 157 i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page V — #3 i i Table des matières V 11.3 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.4 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 12 Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes 12.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Espérance, Moments et Variance . . . . . . . . 12.3 Lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 167 172 176 181 13 Variables Aléatoires Continues - Lois 13.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Espérance, Moments et Variance . . 13.3 Lois usuelles continues . . . . . . . . 13.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . Continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 185 189 192 198 14 Notions de convergence 14.1 Convergence en probabilité . 14.2 Convergence en loi . . . . . . 14.3 Convergence des lois usuelles 14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 201 206 207 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistiques 213 15 Statistique descriptive 215 15.1 Séries statistiques à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 15.2 Séries statistiques à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 15.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 16 Échantillonnage et 16.1 Échantillonnage 16.2 Estimation . . 16.3 Exercices . . . estimation 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 17 Tests d’hypothèse et tests 17.1 Tests de conformité . . . 17.2 Tests de comparaison . . 17.3 Exercices . . . . . . . . Analyse numérique de . . . . . . comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 243 247 251 253 18 Introduction à l’analyse numérique 255 18.1 Représentations des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 18.2 Arithmétique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 18.3 Normes de vecteurs et de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page VI — #4 i VI i Table des matières 18.4 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 18.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 19 Méthodes directes de résolution 19.1 Introduction . . . . . . . . . . . 19.2 Méthode de Gauss-Jordan . . . 19.3 Méthode de Gauss . . . . . . . 19.4 Décomposition LU . . . . . . . 19.5 Décomposition de Cholesky . . 19.6 Exercices . . . . . . . . . . . . des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Méthodes itératives de résolution 20.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 20.2 Définition et convergence . . . . 20.3 Méthodes itératives linéaires . . . 20.4 La méthode de Jacobi . . . . . . 20.5 La méthode de Gauss-Seidel . . . 20.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 265 266 268 271 272 274 des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 279 279 280 280 283 285 21 Résolution des équations non linéaires 21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Méthodes à base géométrique . . . . . 21.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . 21.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 287 288 293 295 22 Méthodes d’intégration numérique 22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . 22.2 Méthodes des trapèzes . . . . . . . 22.3 Méthode de Simpson . . . . . . . . 22.4 Méthode de Romberg . . . . . . . 22.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 297 298 300 302 304 Corrigés des exercices Annexe . . . . . . . . . . 307 449 i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 3 — #9 i i CHAPITRE 1 Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 1.1 L’ensemble des réels 1.1.1 Ensembles ordonnés Un ensemble E non vide est dit ordonné s’il est suivi d’une relation d’ordre, notée « ≤ ». « ≤ » est une relation binaire vérifiant : 1. reflexivité : x ≤ x, ∀x ∈ E ; 2. symétrique : x ≤ y et y ≤ x alors x = y, ∀x, y ∈ E ; 3. transitivité : x ≤ y et y ≤ z alors x ≤ z, ∀x, y, z ∈ E. Si de plus, ∀x, y ∈ E, x ≤ y ou y ≤ x, on dit que la relation ” ≤ ” est d’ordre totale (et E est dit un ensemble totalement ordonné). Exemple 1.1.1 (N, ≤) est un ensemble totalement ordonné. Exemple 1.1.2 Soit E un ensemble non vide. P (E) : l’ensemble des parties de E est un ensemble ordonné mais pas totalement. En effet, la relation ” ⊆ ” est une relation d’ordre puisqu’elle vérifie : – la reflexivité (A ⊆ A, ∀A ∈ P (E)) ; – la symétrie (A ⊆ B et B ⊆ A alors A = B, ∀A, B ∈ P (E)) ; – la transitivité (A ⊆ B et B ⊆ C alors A ⊆ C, ∀A, B, C ∈ P (E)). Majorants, minorants et ensemble bornés Soit E un ensemble ordonné et soit A une partie de E. 1. On dit qu’un élément M de E (m ∈ E) majore A (minore A) si on a : x ≤ M (x ≥ m), ∀x ∈ A. 2. On dit que A majorée (respectivement, minorée) si A possède un majorant (respectivement, un minorant). 3. Un majorant (respectivement, minorant) de A qui appartient à A est appelé le plus grand élément de A (respectivement, le plus petit élément de A). 4. La partie A est dite bornée si et seulement si A est majorée et minorée. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 4 — #10 i 4 i Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 0 Exemple 1.1.3 E = Q muni de la relation d’ordre pq ≤ pq0 ⇐⇒ p.q 0 ≤ p0 .q. Soit 1 A = 1 − tel que n ∈ N\ {0} ⊂ Q. n Vérifier que A est bornée de Q. En effet, on a : 0≤1− 1 ≤ 1, ∀n ∈ N\ {0} . n Donc, 1 majore A et 0 minore A. Le plus petit élément de A est 0 = 1 − 11 . Par contre, A n’admet pas de plus grand élément ! Supposons que la valeur maximale de A : 1 max A = 1 − avec n0 ∈ N\ {0} . n0 Or, 1 − 1 2n0 >1− 1 n0 = max A. D’où la contradiction. Borne supérieure, borne inférieure et caractérisation de R Soit E un ensemble ordonné et soit A une partie de E. Définition 1.1.1 On dit qu’un élément e ∈ E est la borne supérieure de la partie A et on note e = sup A si : 1. e majore A ; 2. tout majorant M de A est tel que : e ≤ M. (autrement dit e est le plus petit des majorants de A). Remarque 1.1.1 e = inf A ⇐⇒ e est le plus grand des minorants de A e minore A ⇔ . tout minorant m de A est tel que : e ≥ m Proposition 1.1.1 (Caractérisation de la borne sup et inf) : Soit E un ensemble ordonné et soit A une partie de E. Un élément e ∈ E est la borne supérieure de A (e = sup A) si et seulement si : 1. e majore A ; 2. ∀e0 ∈ E : e0 < e, ∃a ∈ A tel que e0 ≤ a ≤ e. Exemple 1.1.4 Soit 1 A = 1 − tel que n ∈ N\ {0} ⊂ Q. n On sait que min A = 0 et 1 majorant de A mais n’est pas max A. A admet-elle une borne supérieure ? Oui, 1 = sup A en utilisant le fait que 1 majore A et pour e0 = p ∈ Q : e0 < 1 (p 6= q) , q existe t-il un élément a ∈ A tel que e0 ≤ a ≤ e ? C’est-à-dire ∃?n ≥ 1, a = 1 − n1 q tel que e0 = pq ≤ a = 1 − n1 ≤ 1 (toujours vrai pour n ≥ q−p ). D’où, sup A = 1. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 5 — #11 i 1.1 L’ensemble des réels i 5 Remarque 1.1.2 e ∈ E est la borne inférieure de A (e = inf A) si et seulement si e minore A ⇔ . ∀e0 ∈ A : e < e0 , ∃a ∈ A tel que e ≤ a ≤ e0 . Définition 1.1.2 On dit qu’un ensemble ordonné E vérifie l’axiome de la borne supérieure si toute partie non vide majorée de E admet une borne supérieure. Exemple 1.1.5 Z vérifie l’axiome de la borne supérieure. Q ne le vérifie pas ! Théorème 1.1.1 Il existe un seul corps (à isomorphisme près) commutatif totalement ordonné vérifiant l’axiome de la borne supérieure. Ce corps est appelé le corps des nombres réels et est noté R. 1.1.2 Propriétés des nombres réels Théorème 1.1.2 (Principe d’Archimède) : Soit x un nombre réel strictement positif alors, pour tout y ∈ R, il existe un entier relatif n unique vérifiant : (n − 1) x ≤ y ≤ nx. Théorème 1.1.3 (Densité de Q dans R) : Entre deux réels distincts, il existe un rationnel. Preuve : Soient a et b deux nombres réels distincts tels que a < b. Comme b − a > 0 d’après le principe d’Archimède, il existe un unique entier n (non nul) tel que n (b − a) > 1. Soit m = [na] : partie entière de na ∈ R signifie que : m m+1 na + 1 1 ≤a≤ ≤ = a + < b. n n n n 1.1.3 Propriétés topologiques de la droite réelle Intervalles de R Un intervalle I de R est un sous-ensemble I ⊆ R tel que : ∀x, y ∈ I, le segment joignant x à y est tout entier inclus dans I. Définition 1.1.3 (intervalle) : On dit que I ⊆ R est un intervalle, si, ∀x, y ∈ I, ∀λ > 0 : λx + (1 − λ) y ∈ I. Définition 1.1.4 (intervalle fermé) : Soit a < b. On définit l’intervalle fermé d’extrimité a et b par : [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} . Définition 1.1.5 (intervalle ouvert) : Soit a < b. On définit l’intervalle ouvert d’extrimité a et b par : ]a, b[ = {x ∈ R / a < x < b} . i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 6 — #12 i 6 i Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques Voisinage d’un point Soit x0 ∈ R, on dit qu’une partie V de R est un voisinage de x0 s’il existe α > 0 tel que ]x0 − α, x0 + α[ 1 ⊂ V. Exemple 1.1.6 V = 21 , 72 est un voisinage de 2 car ]2 − 1, 2 + 1[ ⊂ V. Par contre, V = 12 , 2 n’est pas un voisinage de 2 car pour tout α > 0, ]2 − α, 2 + α[ * V. Remarque 1.1.3 Si V est un voisinage de x0 dans R alors, x0 ∈ V (donc V 6= ∅). Remarque 1.1.4 Si V est un voisinage de x0 et si V ⊆ V 0 alors V 0 est un voisinage de x0 . Remarque 1.1.5 L’intersection de deux voisinages de x0 dans R est un voisinage de x0 . Points d’accumulation d’une partie de R Soit A ⊆ R et soit x0 ∈ R. On dit que x0 est un point d’accumulation de la partie A si pour tout voisinage V de x0 on a : V ∩ (A\ {x0 }) 6= ∅. Autrement dit, si tout voisinage V de x0 rencontre A au moins en un point distinct de x0 . Exemple 1.1.7 Soit A = ]1, 3[ ∪ {4} et x0 = 1 est-il un point d’accumulation de A ? La réponse est oui car ∀α > 0, (]1 − α, 1 + α[) ∩ (A\ {1}) 6= ∅. 1.2 L’ensemble des complexes 1.2.1 Construction de l’ensemble des complexes La résolution de l’équation x2 + 1 = 0, dans R est impossible et nous conduit à introduire un nouvel ensemble, comprenant les nombres réels et d’autres nombres parmi lequels se trouvent des solutions de x2 + 1 = 0 ou les équations de même type : 3x2 + 5 = 0, ... . Pour cette raison, nous avons construit l’ensemble des complexes. Définition 1.2.1 Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres complexes est donc l’ensemble R2 . On peut alors écrire C = {(x, y) / x, y ∈ R} ou encore, ∀z ∈ C, ∃x, y ∈ R, z = x + iy avec i est un nombre nouveau tel que i2 = −1. De plus les réels x et y sont uniques. Le réel x est appelé partie réelle de z, noté Re(z) et le réel y est appelé partie imaginaire de z, noté Im(z). Exemple 1.2.1 z1 = 2 + 4i, Re(z1 ) = 2 et Im(z1 ) = 4. 1 Intervalle ouvert de centre x0 et de rayon α. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 7 — #13 i i 1.2 L’ensemble des complexes 7 1.2.2 Notation algébrique (ou cartésienne) des complexes Définition 1.2.2 Les complexes de la forme iy sont appelés imaginaires purs. L’ensemble des imaginaires purs est noté iR. Théorème 1.2.1 Tout complexe z s’écrit sous la forme z = x + iy où x est la partie réelle de z et y est la partie imaginaire de z. C’est la notation algébrique (ou cartésienne) de z. Propriétés 1.2.1 Re (z) = Re (z 0 ) 0 1. z = z ⇔ . Im (z) = Im (z 0 ) 2. z ∈ R ⇔ Im (z) = 0. 3. z ∈ iR ⇔ Re (z) = 0. 4. Re (z + z 0 ) = Re (z) + Re (z 0 ) et Im (z + z 0 ) = Im (z) + Im (z 0 ). 5. Si α ∈ R, alors Re (αz) =α Re (z) et Im (αz) =α Im (z). 6. Formule du Binôme de Newton : ∀z, z 0 ∈ C, ∀n ∈ N, (z + z 0 ) = n X n−k Cnk z k (z 0 ) k=0 où Cnk = n! k!(n−k)! = n X k Cnk z n−k (z 0 ) k=0 est le nombre de combinaison de n par k. Exemple 1.2.2 z1 = 2 + bi, z2 = a − 5i, si z1 = z2 alors a = 2 et b = −5. 1.2.3 Module et conjugué d’un nombre complexe Définition 1.2.3 Soit z = x + iy un complexe. On appelle conjugué de z le complexe _ _ _ _ noté z et défini par z = x − iy. On a donc Re ( z) = Re (z) et Im ( z) = − Im (z) . _ Exemple 1.2.2 z1 = 2 + 3i ⇒ z 1 = 2 − 3i. Théorème 1.2.2 Soient z, z 0 ∈ C, on a : 1. z + z 0 = z + z 0 . 2. zz 0 = zz 0 . 3. z = z. Remarques 1.2.1 – z + z = 2 Re (z) et z − z = 2i Im (z). – z ∈ R ⇒ z = z. – z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z. Définition 1.2.4 Soit z = x + iy √ un complexe, on appelle module de z, le réel positif noté |z| et défini par : |z| = zz avec zz = x2 + y 2 . Propriétés 1.2.2 1. |z| = 0 ⇔ z = 0. 2. |Re (z)| ≤ |z| et |Im (z)| ≤ |z|. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 8 — #14 i 8 i Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 3. Si z ∈ R, alors son module coïncide avec sa valeur absolue. n 4. |zz 0 | = |z| |z 0 | , en particulier, ∀n ∈ N, |z n | = |z| (ceci reste valable pour n ∈ Z, si z 6= 0. _ 5. |z| = | z|. _ 6. ||z| − | z|| ≤ |z − z 0 | ≤ |z| + |z 0 | (Inégalité triangulaire). 7. Pour mettre le complexe zz0 sous forme algébrique ou cartésienne, il suffit de multiplier en haut et en bas par z 0 . Théorème 1.2.3 Soient z et z 0 deux complexes non nuls, |z + z 0 | = |z| + |z 0 | si et seulement s’il existe un réel strictement positif α telque z = αz 0 . 1.2.4 Équation du second degré Théorème 1.2.4 Soit a ∈ C, l’équation z 2 = a admet dans C deux solutions opposées (toutes deux nulles lorsque a = 0). Théorème 1.2.5 Soient a, b, c ∈ C avec a 6= 0, l’équation az 2 + bz + c = 0 admet deux solutions complexes qui sont z1 = −b + δ −b − δ et z2 = 2a 2a avec δ ∈ C tel que δ 2 = ∆ = b2 − 4ac (discriminant). De plus, lorsque les coefficients a, b, c sont réels et que le discriminant b2 − 4ac est strictement négatif, ces deux solutions sont complexes non réelles et conjuguées. Remarque 1.2.2 La somme et le produit de ces deux solutions, sont données par les relations : ∀z ∈ C, az 2 + bz + c = a (z − z1 ) (z − z2 ) . Notation exponentielle Pour tout réel x, on pose eix = cos x + i sin x. On a alors les propriétés suivantes : 1. ∀x ∈ R, e−ix = cos x − i sin x = eix . q 2 2 2. ∀x ∈ R, eix = (cos x) + (sin x) = 1. 3. ∀x, y ∈ R, eix eiy = ei(x+y) . 4. Soit z = x + iy un complexe et |z| = 1 = x2 + y 2 , donc il existe un réel θ tel que x = cos θ et y = sin θ, c’est à dire z = eiθ . cos x = cos y 5. Soient x, y ∈ R, eix = eiy ⇔ ⇔ {x ≡ y [2π] . sin x = sin y Formules d’Euler et de Moivre Formule de Moivre : ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, eix = eix déduit que : n n = (cos x + i sin x) . On en n cos (nx) = Re ((cos x + i sin x) ) ; n sin (nx) = Im ((cos x + i sin x) ) . i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 9 — #15 i 1.2 L’ensemble des complexes i 9 À l’aide du binôme de Newton, ces formules permettent d’exprimer cos (nx) et sin (nx) sous forme d’un polynôme en cos (x) et sin (x) . Formule d’Euler : ∀x ∈ R, cos x = eix + e−ix eix − e−ix et sin x = . 2 2i n n Ces formules permettent la linéarisation de (cos x) et (sin x) . Forme trigonométrique (ou polaire) iθ ∗ Soit z ∈ C tel que |z| = 1, on sait qu’il existe θ tel que z = e . Si maintenant z ∈ C z z iθ iθ alors |z| = 1 donc il existe θ ∈ R tel que |z| = e , c’est à dire z = |z| e . Définition 1.2.5 Soit z ∈ C∗ , on appelle argument de z tout réel θ tel que z = |z| eiθ . Cette égalité est appelée forme trigonométrique (ou polaire) de z. L’ensemble des arguments de z est noté arg (z) , on a donc arg (z) = θ ∈ R / z = |z| eiθ et si θ0 est un argument de z, alors arg (z) = {θ0 + 2kπ / k ∈ Z} . Définition 1.2.6 Soit z ∈ C∗ , z possède un unique argument dans ]−π; π] , par définition cet argument est appelé argument principal de z et noté arg (z) . Propriétés 1.2.3 Soient z, z 0 ∈ C∗ avec θ = arg (z) et θ0 = arg (z 0 ) . |z| = |z 0 | 0 1. z = z ⇔ . θ ≡ θ0 [2π] 2. z ∈ R∗ ⇔ θ ≡ 0 [π]. _ _ 3. z = |z| e−iθ donc arg ( z) ≡ −θ [2π]. 4. −z = |z| ei(θ+π) donc arg (−z) ≡ θ + π [2π]. 0 5. zz 0 = |zz 0 | ei(θ+θ ) donc arg (zz 0 ) ≡ θ + θ0 [2π]. 0 6. zz0 = |z|z|0 | ei(θ−θ ) donc arg zz0 ≡ θ − θ0 [2π]. 7. ∀n ∈ Z, z n = |z n | einθ donc arg (z n ) ≡ nθ [2π] . Exponentielle complexe Définition 1.2.7 Soit z = x + iy un complexe, on appelle exponentielle de z le complexe noté exp (z) et défini par : exp (z) = ex [cos y + i sin y] . Remaques 1.2.3 1. Si z ∈ R (y = 0), alors l’exponentielle de z correspond à l’exponentielle réelle de z. D’autre part on peut écrire (pour x, y ∈ R :) exp (x + iy) = ex eiy . 2. exp (0) = 1. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 10 — #16 i 10 i Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 3. exp (−z) = 1 exp(z) . 4. Re (exp (z)) = eRe(z) cos (Im (z)) et Im (exp (z)) = eRe(z) sin (Im (z)). 5. |exp (z)| = eRe(z) et arg (exp (z)) ≡ Im (z) [2π]. _ 6. exp (z) = exp ( z) . Racine n-ièmes d’un nombre complexe Soient a, z0 deux complexes et n ∈ N, on dit que z0 est une racine n-ième de a lorsque z0n = a. Théorème 1.2.6 Soit n ∈ N tel que n ≥ 2 et a ∈ C∗ . L’ensemble des racines n-ièmes de a (que l’on note Rn (a)) est un ensemble fini de cardinal n et pour tout argument θ de a on a : Rn (a) = np n |a|ei θ+2kπ n o / 0≤k ≤n−1 . Cas particuliers : racine n-ièmes de l’unité : (noté par Un ) n 2kπ o Un = {z ∈ C∗ et |z| = 1 / z n = 1} = ei n / 0 ≤ k ≤ n − 1 . Exemple 1.2.3 Résoudre dans C l’équation z 5 + 1 = 0. 1.2.5 Représentation géométrique des complexes Le plan complexe est un plan ℘ muni d’un repère orthonormé direct < = → → o, u , v . 1.2.6 Affixe Chaque point M du plan complexe est repéré par ses coordonnées : une abscisse x et une ordonnée y, c’est-à-dire par le couple de réel (x, y) . Plus précisement, M est repéré par le complexe z = x + iy. Par définition, ce complexe est l’affixe du point M. Réciproquement, tout complexe → z→est l’affixe d’un point M du plan que l’on appelle image de z. Les axes o, u et o, v sont appelés respectivement axes des réels et i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 11 — #17 i 1.2 L’ensemble des complexes i 11 axes des imaginaires. M(x, y) y → ν O → u x 1.2.7 Angles orientés Soit z un complexe non nul et M le pointdu plan d’affixe z,l’argument principal de z −−→ −−→ → − → − est une mesure de l’angle orienté u , OM , ce que l’on écrit u , OM ≡ Arg (z) [2π] . x + iy = reiθ avec r = OM = √ x2 + y2 y M(x, y) → θ ν O → u x i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 16 — #22 i 16 i Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 1.3.4 Suites divergentes et limite infinie Définition 1.3.4 On dit qu’une suite de nombres réels (un )n≥0 tend vers +∞ (respectivement, vers −∞) quand n tend vers +∞ si : ∀A ∈ R, ∃NA ∈ N, ∀n ≥ NA : un ≥ A. (respectivement, ∀B ∈ R, ∃NB ∈ N, ∀n ≥ NB : un ≤ B). Exemple 1.3.9 La suite un = an avec a > 1 tend vers +∞ quand n tend vers +∞ : lim un = +∞. En effet, soit A ∈ R cherchons NA ∈ N, ∀n ≥ NA : an ≥ A. n→+∞ si A ≤ 0 ln A0 Posons NA = + 1 si A > 0 ln a Définition 1.3.5 Une suite de nombres réels (un )n≥0 est dite divergente si elle n’admet pas de limite ou si elle tend vers ±∞ quand n tend vers +∞. Proposition 1.3.8 – Une suite de nombres réels croissante et non majorée tend vers +∞ quand n tend vers +∞. – Une suite de nombres réels décroissante et non minorée tend vers −∞ quand n tend vers +∞. 1.3.5 Suites de nombres complexes Proposition 1.3.9 La suite (zn = xn + iyn )n≥0 de nombres complexes converge vers l = x + iy si et seulement si lim xn = x et lim yn = y. n→+∞ n→+∞ Preuve : ” ⇒ ” On suppose lim zn = l. Par définition, on a : n→+∞ ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N : |zn − l| < . Or, q 2 2 |zn − l| = (xn − x) + (yn − y) . Ainsi, |xn − x| ≤ |zn − l| et |yn − y| ≤ |zn − l| . Donc, ∀n ≥ N : |xn − x| < et |yn − y| < . ”⇐” xn −→ x n→+∞ yn −→ y n→+∞ ! ⇒ xn −→ x n→+∞ iyn −→ iy ! ⇒ n→+∞ zn = xn + iyn −→ x + iy = l. n→+∞ i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 17 — #23 i 1.4 Exercices i 17 1.4 Exercices Exercice 1 : Soient a et b deux nombres réels vérifiant : 0 ≤ a ≤ 5 et 3 ≤ b < 8. Donner un encadrement de a + b, a − b, a b et a × b. Exercice 2 : Déterminer chacun des ensembles suivants : x−1 ≥0 , A = x ∈ R tels que (x + 1) (x − 2) B = {x ∈ R tels que |x + 1| < |x − 3|} , C = {x ∈ R tels que |x + 1| + |x + 2| < 1} . Exercice 3 : Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. 1. Montrer que si A ⊂ B alors sup A ≤ sup B. 2. Montrer que : sup (A ∪ B) = max (sup A, sup B) , inf (A ∪ B) = min (inf A, inf B) . 3. Montrer que max (inf A, inf B) ≤ inf (A ∩ B) ≤ sup (A ∩ B) ≤ min (sup A, sup B) . Exercice 4 : Soit A une partie de R définie par : A = r ∈ Q / r2 − 3r + 1 < 0 . 1. Montrer que A est non vide et bornée. 2. La partie A admet-elle une borne supérieure, une borne inférieure dans R ? Exercice 5 : Donner, lorsqu’ils existent, le plus grand élément, le plus petit élément, la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles suivants : n−1 A = N, B = {1} ∪ ]2, +∞[ , C = , n∈N . n+1 i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 18 — #24 i 18 i Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques Exercice 6 : Calculer : [ 1 \ [ ,1 , [n, +∞[ , [n, n + 1[ , n n≥1 n≥0 n≥0 \ [ 1 1 1 −∞, , 1 − ,1 + . n n n n≥1 n≥1 Exercice 7 : Écrire sous forme cartésienne les nombres complexes suivants : √ π 2 − 3i 3 + 4i z1 = √ , z2 = , , z3 = exp (3iπ) , z4 = π exp −i (2 + 3i) (4 + i) 3 3 − 2i 9 5π (1 + i) z5 = exp −i , z6 = 5. 4 (1 − i) Exercice 8 : n+1 1. Montrer que si z ∈ C\{1} alors 1 + z + z 2 + · · · + z n = z z−1−1 . n n P P 2. En déduire, pour θ ∈ ]0, 2π[ , cos (kθ) et sin (kθ) . k=0 k=0 Exercice 9 : Résoudre dans C les équations suivantes : (E1) z 2 + (−3 + i) z + 4 − 3i = 0, (E2) z 8 + z 4 +√1 = 0, 1+i√3 (E3) z 6 = 1−i . 3 Exercice 10 : 1. Trouver le module et l’argument des nombres complexes suivants : √ 5 √ z1 = −2 + 2i , z2 = −1 + 3i , z3 = −1 + 3i . 2. En déduire la forme polaire de ces nombres complexes. Exercice 11 : Soient z = exp 2iπ 7 , S = z + z 2 + z 4 et T = z 3 + z 5 + z 6 . 1. Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive. 2. Calculer S + T et ST. En déduire S et T . i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 19 — #25 i 1.4 Exercices i 19 Exercice 12 : Soient α ∈ ]−π/2, π/2[ , n ∈ N∗ et λ ∈ C, |λ| = 1. 1+i tan α 2iα 1. Soit z0 = 1−i . tan α . Vérifier que z0 = e 2. Montrer que i (1 − λ) Im (λ) = λ+1 1 + Re (λ) où Im (λ) et Re (λ) désignent la partie imaginaire et la partie réelle du complexe λ. (On pourra vérifier que (1 + λ) 1 + λ = 2 + 2 Re (λ)). 3. Déterminer les complexes z solutions de l’équation : n 1 + iz 1 + i tan α = . 1 − iz 1 − i tan α Exercice 13 : Soit (un )n≥0 la suite définie par : 1 un = 1 2 un−1 + 1 4 si n = 0 si n ≥ 1. 1. Montrer que (un )n≥0 est décroissante. 2. Montrer que (un )n≥0 est minorée. 3. Vérifier que 12 est la borne inférieure de (un )n≥0 (Indication : inf (un )n≥0 = inf E avec E = {u0 , u1 , . . . , un , . . .}). Exercice 14 : Soit (un )n≥0 la suite de terme générale définie par : n1 u0 = 0 et un+1 = n + un−1 , n ≥ 1. n u1 = 1 1. Montrer que un = 1 + n(n−1) 2 1 n−1 , n ≥ 2. 2. Montrer que la suite (ln un )n≥1 est convergente et calculer sa limite. 3. En déduire que la suite (un )n≥0 est convergente et sa limite est égale à 1. Exercice 15 : Soit la suite (un )n≥0 de nombres réels définie par : 1 u0 = 0 et un+2 = 1 + un+1 + u2n . u1 = 21 3 1. Montrer que la suite (un )n≥0 est croissante et à valeurs dans [0, 1] (on pourra raisonner par récurrence sur n). 2. Montrer que la suite (un )n≥0 est convergente et calculer sa limite. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 20 — #26 i 20 i Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques Exercice 16 : On considère (un ) une suite réelle. On suppose que les suites (u2n ) et (u2n+1 ) sont convergentes. La suite (un ) est-elle convergente ? Discuter. Exercice 17 : On se propose d’étudier la nature de la suite : un = 1 − 1 1 n−1 1 + + · · · + (−1) , n ∈ N∗ . 2 3 n 1. Montrer que la suite (u2n ) est croissante, majorée par 1. 2. Montrer que la suite (u2n+1 ) est décroissante, minorée par 21 . 3. Montrer que pour tout n ≥ 1, u2n < u2n−1 et que les suites (u2n ) et (u2n+1 ) tendent vers la même limite. Conclure. Exercice 18 : On considère deux suites (un ) et (vn ) définies par : v1 = 1 u1 = 1 n vn+1 = un +2v . un+1 = 5un6+vn 3 1. Étudier le signe de vn − un et la limite de vn − un . 2. Montrer que la suite (un )n≥1 (respectivement, (vn )n≥0 ) est croissante (respectivement décroissante). 3. Déduire des équations précédentes que (un ) et (vn ) sont deux suites adjacentes, donc convergentes vers la même limite l. 4. Calculer l. Exercice 19 : En utilisant le critère de Cauchy, étudier les suites suivantes : 1. un = 1 − 2. un = 1 + 3. un = 1 + n−1 (−1) 1 1 2 + 3 + ··· + n 1 1 + · · · + . 2 n √1 + · · · + √1 . n 2 . Exercice 20 : Soit (un ) une suite réelle définie par u0 = 1 et un+1 = 1. Montrer que ∀n ∈ N∗ , 1 ≤ un+1 < un + q u2n + 1 2n . 1 2n+1 . 2. Montrer que (un ) est de Cauchy. Donner une valeur approchée de sa limite à 10−3 prés. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 307 — #313 i i Corrigés des exercices Corrigés des exercices du chapitre 1 Exercice 1 : – 3 ≤ a + b ≤ 13 – −8 ≤ a − b ≤ 2 – 0 ≤ ab ≤ 35 – 0 ≤ a × b ≤ 40. Exercice 2 : – A = ]−1, 1] ∪ ]2, +∞[ – B = ]−∞, 1[ – C = ∅. Exercice 3 : Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. 1. Comme R vérifie l’axiome de la borne supérieure alors A admet une borne supérieure dans R. Il suffit donc de montrer que sup B est un majorant de A. Soit x ∈ A ⊂ B alors x ∈ B et comme sup B et un majorant de B alors x ≤ sup B. D’où, sup A ≤ sup B. 2. Montrer que sup (A ∪ B) = max (sup A, sup B). On a : A ⊂ A ∪ B ⇒ sup (A) ≤ sup (A ∪ B) , B ⊂ A ∪ B ⇒ sup (B) ≤ sup (A ∪ B) , alors sup (A ∪ B) ≥ max (sup A, sup B) . Il suffit de montrer que max (sup A, sup B) est un majorant de A ∪ B. En effet, soit x ∈ A ∪ B alors x ∈ A ou x ∈ B c’est à dire x ≤ sup A ou y ≤ sup B. Donc, x ≤ sup (A ∪ B) . D’où, le résultat. On montre de même inf (A ∪ B) = min (inf A, inf B) . 3. On a : (A ∩ B) ⊂ A ⇒ sup (A ∩ B) ≤ sup (A) , (A ∩ B) ⊂ B ⇒ sup (A ∩ B) ≤ sup (B) . Donc, sup (A ∩ B) ≤ min (sup A, sup B) . i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 308 — #314 i 308 i Corrigés des exercices De même, on a : max (inf A, inf B) ≤ inf (A ∩ B) . Exercice 4 : √ √ 3− 5 3+ 5 2 A = r ∈ Q / r − 3r + 1 < 0 = , ∩ Q. 2 2 √ √ 1. Comme Q dense dans R, alors il existe r dans Q tel que 3−2 5 < r < 3+2 5 . Donc, √ √ A est non vide. De plus, 3+2 5 est un majorant de A et 3−2 5 est un minorant de A donc A est bornée. 2. Comme R vérifie l’axiome de la borne supérieure alors la partie A admet une borne supérieure et une borne inférieure dans R. Exercice 5 : – A = N : 0 est le plus petit élément de N car 0 est un minorant de N et 0 ∈ N, donc 0 est la borne inférieure de N et aussi un minorant. N n’admet pas un majorant. En effet, soit M ∈ R, montrer qu’il existe n ∈ N / n > M. Pour n0 = E (M ) + 1, on a n0 > M donc M n’est pas un majorant de N. Ainsi, N n’admet pas ni de majorant, ni de borne supérieure, ni de plus grand élément. – B = {1} ∪ ]2, +∞[ . On voit que 1 est le plus petit élément de B donc inf B = 1. D’autre part, B n’admet pas de majorant car si M est un majorant, on a M > 2. On a M + 1 > r et M + 1 ∈ B donc c’est la contradiction. Ainsi, B n’admet pas ni denborne supérieure, ni de plus grand élément. o n−1 – C = n+1 , n ∈ N . On remarque que −1 est le plus petit élément de C. ∀n ∈ N, on a n−1 n+1 ≥ −1 et −1 ∈ C donc −1 est le plus petit élément de C et −1 = inf C. On vérifie aussi que 1 est la borne supérieure. En effet, 1 ∈ / C sinon il existe n ∈ N tel que n−1 = 1 absurde. Donc, C n’admet pas de plus grand élément. n+1 Pour montrer que 1 = sup C. On a 1 est un majorant de C. Soit e un majorant de C, montrons que e ≥ 1. Sinon, e < 1. Montrons qu’il existe x ∈ C tel que n0 −1 1+e e < x < 1 avec x = n−1 . Ainsi, pour n = E 0 n+1 1−e + 1, on a e < n0 +1 < 1. Contradiction avec e un majorant de C. D’où, 1 = sup C. Exercice 6 : 1 S 1 – n , 1 = ]0, 1[ . Car, ∀n ≥ 1, n , 1 ⊂ ]0, 1[ . Et, pour x ∈ ]0, 1[ , il existe n≥1 h h S 1 n0 = E x1 + 1 6= 0 tel que x ∈ n10 , 1 donc x ∈ n, 1 . n≥1 T [n, +∞[ = ∅. Montrons que si x ∈ R alors : – n≥0 x∈ / \ [n, +∞[ (x ∈ / [n, +∞[). n≥0 En effet, il suffit de prendre n0 = E (x) + 1 pour vérifier l’absurdité. i i i i i i “belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 309 — #315 i Corrigés des exercices – i 309 [n, n + 1[ = [0, +∞[ . Car, ∀n ≥ 0, [n, n + 1[ ⊂ [0, +∞[ . De plus, soit x ∈ S n≥0 [0, +∞[ . Montrons qu’il existe n0 ∈ N tel que x ∈ [n, n + 1[ . Il suffit de prendre n0 = E (x) + 1. i h S S – −∞, n1 = ]−∞, 1[ . Car, on a ∀n0 ≥ 1, −∞, n10 ⊂ −∞, n1 . Il suffit n≥1 n≥1 S de prendre n0 = 1 donc ]−∞, 1[ ⊂ −∞, n1 . De plus, soit n≥1 [ 1 x∈ −∞, . n n≥1 Montrons que x ∈ ]−∞, 1[ . On a x ∈ −∞, n1 ⊂ ]−∞, 1[ ( n1 ≤ 1). T – 1 − n1 , 1 + n1 = {1} . En effet, n≥1 \ \ 1 1 1 1 1 − ,1 + = 1 − , 1 ∩ 1, 1 + n n n n n≥1 n≥1 \ 1 = {1} ∪ 1, 1 + . n n≥1 Il suffit de montrer que 1 x < 1+ n1 ⇔ x−1 D’où, le résultat. T 1, 1 + n1 = ∅. Pour cela, supposons qu’il existe n≥1 1 > n, ∀n ≥ 1, absurde car il suffit de prendre n0 = E x−1 +1. Exercice 7 : √ – z1 = 74 3 + 17 i 71 22 – z2 = 221 − 221 i – z3 = −1 √ – z4 = −π 12 i 3 − 12 √ – z5 = − 12 − 12 i 2 – z6 = −4i. Exercice 8 : 1. Il suffit de remarquer que z n+1 − 1 = (z − 1) 1 + z + z 2 + · · · + z n . n P 2. Remplacer z par eiθ pour θ ∈ ]0, 2π[ dans la question 1. pour déduire cos (kθ) et n P k=0 sin (kθ) . k=0 Exercice 9 : (E1) SC = {1 − 2i, 2 + i} . i i i i CV_MathsInformatique:EP 30/09/13 14:43 Page 1 Cet ouvrage présente les concepts et les outils mathématiques de base que tout étudiant en première et deuxième années de Licence Informatique doit maîtriser : initiation au raisonnement mathématique et à la modélisation de problèmes concrets mais aussi méthodes et applications fondamentales de l’analyse numérique. Plus de 200 exercices corrigés complètent le cours et permettent aux étudiants de s’entraîner efficacement. Sommaire Partie I. Analyse 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 2. Étude des fonctions réelles d’une variable réelle 3. Séries numériques 4. Intégration des fonctions réelles d’une variable réelle 5. Équations différentielles 13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues 14. Notions de convergence Partie II. Algèbre 6. Espaces vectoriels et applications linéaires 7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires 8. Diagonalisation des endomorphismes – matrices 9. Polynômes et fractions rationnelles 10. Applications bilinéaires et formes quadratiques Partie V. Analyse numérique 18. Introduction à l’analyse numérique 19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires 20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 21. Résolution des équations non linéaires 22. Méthodes d’intégration numérique Partie III. Probabilités 11. Notion de probabilité 12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes Corrigés des exercices Partie IV. Statistiques 15. Statistique descriptive 16. Échantillonnage et estimation 17. Tests d’hypothèse et tests de comparaison Annexe Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre matricielle rapide. Chercheur à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis (LAMSIN), il enseigne actuellement à l’Institut Supérieur des Arts du Multimédia de la Manouba (Tunisie). Il est également Maître assistant et Directeur des Études et des Stages à l'ISAMM. Maître assistant à l’Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse (Tunisie), Anis Ben Aïssa est spécialiste des probabilités et statistiques. ISBN 978-2-311-01241-5 WWW.VUIBERT.FR 9 782311 012415 LICENCE 1 & 2 INFORMATIQUE Mathématiques Cours & exercices corrigés Mathématiques pour l’informatique Mathématiques pour l’informatique Skander Belhaj & Anis Ben Aïssa LICENCE 1 & 2 INFORMATIQUE Skander Belhaj Anis Ben Aïssa pour l’informatique • Cours complet • Méthodes et applications fondamentales • Exercices d’entraînement corrigés