Chapitre 3 Groupes, anneaux, corps

Groupes, anneaux, corps
Complément au chapitre «nombres complexes»
Chapitre 3
0.1 Définition Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute application
du produit cartésien E × E (noté aussi E 2 ) dans E.
Si ! : E × E → E est une loi de composition interne, on notera habituellement, pour (x, y ) ∈ E 2 :
truc
!(x, y ) = x ! y .
On dit que la loi ! est associative si : ∀(x, y , z) ∈ E 3 (x ! y ) ! z = x ! (y ! z).
On dit que la loi ! est commutative si : ∀(x, y ) ∈ E 2 x ! y = y ! x.
Soit e un élément de E. On dit que e est un élément neutre pour la loi ! si : ∀x ∈ E
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x !e = e!x = x.
Groupes
1.1 Définition On appelle groupe tout couple (G, •), où G est un ensemble et • une loi de composition
interne sur G telle que :
(i) la loi • est associative ;
(ii) G possède un élément e neutre pour la loi • ;
(iii) pour tout g ∈ G, il existe un élément g ! ∈ G tel que g • g ! = g ! • g = e.
Si la loi • est de plus commutative, on dit que (G, •) est un groupe commutatif, ou abélien.
L’élément g ! de l’hypothèse (iii) est appelé symétrique (ou inverse, ou même opposé si le groupe est
commutatif) de l’élément g.
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Anneaux et corps
2.1 Définition On appelle anneau tout triplet (A, +, !), où A est un ensemble et +, ! deux lois de
composition internes sur A telles que :
(i) le couple (A, +) est un groupe abélien (dont on note l’élément neutre 0A ) ;
(ii) la loi ! est associative ;
(iii) la loi ! est distributive sur la loi + : ∀(a, b, c) ∈
A3
!
a ! (b + c) = a ! b + a ! c
;
(a + b) ! c = a ! c + b ! c
(iv) A possède un élément neutre pour la loi !, noté 1A ;
Si la loi ! est commutative, on dit que (A, +, !) est un anneau commutatif.
Si, pour tout (a, b) ∈ A2 , on a : [a %= 0 et b %= 0] ⇒ ab %= 0, on dit que (A, +, !) est un anneau
intègre.
2.2 Définition On appelle corps tout anneau (K, +, !) tel que :
(i) la loi ! est commutative ;
(ii) pour tout x ∈ K \ {0}, il existe un élément x ! ∈ K tel que x ! x ! = x ! ! x = 1K ;
(iii) les éléments 0K et 1K sont distincts (K a donc au moins deux éléments distincts).
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Morphismes
3.1 Définition Si (G, •) et (H, !) sont deux groupes, on appelle morphisme de groupes de (G, •)
dans (H, !) toute application ϕ : G → H telle que :
∀(g, g ! ) ∈ G 2 , ϕ(g • g ! ) = ϕ(g) ! ϕ(g ! ).
3.2 Définition Si (A, +A , !A ) et (B, +B , !B ) sont deux anneaux, on appelle morphisme d’anneaux
de (A, +A , !A ) dans (B, +B , !B ) toute application ϕ : A → B telle que :
(i) ∀(a, a! ) ∈ A2 ,
(ii) ∀(a, a! ) ∈ A2 ,
ϕ(a +A a! ) = ϕ(A) +B ϕ(A! ) ;
ϕ(a !A a! ) = ϕ(A) !B ϕ(A! ) ;
(iii) ϕ(1A ) = 1B .
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