LE FORMULAIRE MPSI, MP – 1 500 formules de

Chapitre
1
c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Mathématiques
1.
Algèbre
1.1
Relations
Propriétés d’une relation binaire
Soit R une relation binaire dans E ; elle est dite :
réflexive si et seulement si ∀ x ∈ E, xR x
symétrique si et seulement si ∀( x, y) ∈ E2 , xR y=⇒ yR x
xR y
antisymétrique si et seulement si ∀( x, y) ∈ E2 ,
=⇒ x = y
yR x
xR y
transitive si et seulement si ∀( x, y, z) ∈ E3 ,
=⇒ xR z
yR z
Relation d’ordre
Une relation binaire R de E est dite relation d’ordre si et seulement si
R est réflexive, antisymétrique et transitive.
Relation d’équivalence
Une relation binaire R de E est une relation d’équivalence si et seulement si R est réflexive, symétrique et transitive.
2
[1] Mathématiques
Classe d’équivalence
Soit R une relation d’équivalence dans E ; pour x ∈ E, on appelle classe
d’équivalence de x (modulo R) l’ensemble défini par :
clR ( x) = { y ∈ E, xR y}
Ensemble-quotient
On appelle ensemble-quotient de E par R, et on note E/R, l’ensemble
des classes d’équivalence modulo R :
E/R = {clR , x ∈ E}
1.2
Structures algébriques
Lois de compositions
On appelle loi interne toute application de E × E → E.
Un loi ∗ est dite associative si et seulement si :
∀( x, y, z) ∈ E3 , x ∗ ( y ∗ z) = ( x ∗ y) ∗ z
Une loi ∗ interne est dite commutative si et seulement si :
∀( x, y) ∈ E2 , x ∗ y = y ∗ x
On dit que e est un élément neutre pour ∗ si et seulement si :
∀ x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x
On appelle symétrique de x ∈ E un élement de E noté x−1 vérifiant :
x−1 ∗ x = x ∗ x−1 = e
On dit que rHE est stable par ∗ si et seulement si :
∀( x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H
Groupe
Un ensemble muni d’une loi interne ( G, ·) est un groupe si et seulement si :
– · est associative ;
– · admet un élément neutre : e ;
– tout élément de G admet un symétrique pour la loi ·.
Si la loi · est commutative, on dit que le groupe G est abélien ou commutatif.
1. Algèbre
3
Sous-groupe
Soit ( G, ·) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe de G si et
seulement si :
– H est stable par la loi · ;
– H contient l’élément neutre ;
– ∀ x ∈ H, x−1 ∈ H.
Groupe commutatif
– (Z/nZ , +) est un groupe commutatif.
– l’application pn : Z → (Z/nZ ) , appelée surjection canonique, est
x 7→ x mod n
un morphisme surjectif de groupes.
Générateurs du groupe
Les générateurs du groupe (Z/nZ , +) sont les k̂, avec k ∈ Z et k ∧ n =
1.
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Groupe monogène – Groupe cyclique
– Un groupe G est dit monogène si et seulement s’il admet un générateur, c’est-à-dire si et seulement s’il existe a ∈ G tel que G =< a >
– Un groupe G est dit cyclique si et seulement si G est monogène et
fini.
Anneau
Un ensemble A muni de deux lois internes notées + et · est un anneau
si et seulement si :
– ( A, +) est un groupe commutatif, d’élément neutre 0 A ;
– · est associative et admet un élément neutre 1 A ;
– · est distributive par rapport à +, c’est-à-dire :
∀( x, y, z) ∈ A3 , x · ( y + z) = ( x · y) + ( x · z) ;
( x + y ) · z = ( x · z ) + ( y · z ).
Si · est commutative, on dit que l’anneau A est commutatif.