LES VECTEURS DANS L`OCEAN INDIEN

INSPECTION PEDAGOGIQUE REGIONALE
DE MATHEMATIQUES
http://maths.ac-reunion.fr/
LES VECTEURS DANS L’OCEAN INDIEN
Sophie Fur
Professeur de mathématiques, lycée Jean Hinglo du Port
SOMMAIRE
PREFACE .................................................................................................................. 3
INTRODUCTION ........................................................................................................ 5
Objectif général .................................................................................................................................................. 6
Résolution du problème ..................................................................................................................................... 6
Algorithmique .................................................................................................................................................... 6
Conclusion.......................................................................................................................................................... 6
MISE EN ŒUVRE CONCRETE EN CLASSE............................................................ 7
NOTIONS ABORDEES .............................................................................................. 7
COLLECTE DES INFORMATIONS ......................................................................... 10
ALGORITHME : PREVOIR LES POSITIONS SUCCESSIVES DU CYCLONE....... 11
Présentation ...................................................................................................................................................... 11
Notions abordées .............................................................................................................................................. 14
Algorithmes...................................................................................................................................................... 15
EVALUATION DES ELEVES AU COURS DE CES ACTIVITES............................. 17
S. FUR
Vecteurs dans l’océan indien
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PREFACE
Depuis la rentrée 2009, le programme de mathématiques de la classe de seconde fixe,
entre autres, les objectifs suivants pour l’enseignement de la géométrie (extraits du B.0. n° 30
du 23 juillet 2009) :
« … rendre les élèves capables d’étudier un problème dont la résolution repose sur des
calculs de distance, …, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée.
Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’utilisation d’un logiciel de géométrie
dynamique par les élèves leur donne une plus grande autonomie et encourage leur prise
d’initiative.
La définition proposée des vecteurs permet d’introduire rapidement l’addition de deux
vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un nombre réel. Cette introduction est faite en
liaison avec la géométrie plane repérée.»
Mettre en œuvre, cette notion nouvelle pour les élèves, en géométrie plane repérée
dans des « situations liées à la vie courante ou à d’autres disciplines » demandait de
construire des situations d’apprentissage nouvelles.
Suite aux échanges que j’ai eu en 2009-2010 avec Mlle Sophie FUR, professeur
agrégée, sur l’atelier Math en Jeans qu’elle anime au lycée Jean Hinglo et dans lequel certains
de ses élèves concevaient un algorithme permettant de simuler la marche aléatoire d’un oiseau
(sous contraintes de déplacement paramétrables), nous avons émis l’idée de contextualiser les
vecteurs dans notre environnement Océan Indien en les rattachant au suivi journalier des
cyclones, et en modélisant leur déplacement à l’aide de vecteurs.
S. FUR
Vecteurs dans l’océan indien
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La saison cyclonique 2010-2011 commençant ces jours-ci, nous vous proposons ce
document de mise en œuvre des vecteurs en géométrie plane repérée, à utiliser pour chaque
météore jusqu’à la fin de la saison.
En espérant qu’il constituera le point de départ d’une réflexion plus large sur la
contextualisation des notions mathématiques, et que vous serez nombreux à l’utiliser afin de
le faire encore évoluer.
L’inspecteur d’académie –
Inspecteur pédagogique régional
de mathématiques
Philippe JANVIER
S. FUR
Vecteurs dans l’océan indien
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INTRODUCTION
L’île de la Réunion est régulièrement confrontée aux problèmes de cyclones durant la période
dite « cyclonique » de décembre à avril. Ces cyclones s’approchent plus ou moins des côtes
de l’île avec une intensité variable, ce qui leur donne le nom de cyclone ou de tempête
tropicale.
Selon leur position par rapport à l’île (distance plus ou moins élevée), l’alerte cyclonique sera
déclenchée par Météo - France ou seule l’alerte Orange sera donnée.
Ainsi lors de la période cyclonique, chaque habitant de l’île guette le déplacement du cyclone
et la question essentielle reste : « le cyclone touchera-t-il la réunion et si oui, quand ? ».
Le cyclone Gélane (à changer en fonction du nom de celui que nous aurons durant
la période cyclonique) touchera-t-il la Réunion ?
Il est ainsi envisageable, en partant d’un problème ouvert : « La réunion sera-t-elle touchée ?
Comment prévoir le déplacement du cyclone ? », d’introduire la notion de vecteur.
A partir de ce questionnement, il est possible :
-
-
D’introduire la notion de vecteur comme déplacement et de passer en géométrie
repérée pour établir facilement, une correspondance entre déplacement du cyclone et
vecteur.
Chaque jour un nouveau vecteur, donc un nouveau couple de nombres.
La Réunion et le cyclone sont assimilés à des points, la première étant l’origine du
repère.
De conjecturer la future position du cyclone, à l’aide d’algorithmes.
La modélisation envisagée considère que la zone étudiée est assimilable à un plan
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Objectif général
L’objectif principal de ce document est d’introduire les vecteurs avec une utilisation concrète
dans le quotidien des élèves.
Il ne s’agit pas de lier toutes les notions des vecteurs au cyclone mais de s’en servir comme
accroche et comme fil rouge.
Les notions abordées sont présentées en tableau avec pour certaines d’entre elles un lien avec
le cyclone, pour d’autres une animation les illustrant.
Résolution du problème
Le but étant de prévoir l’impact du cyclone sur l’île, connaissant sa position à un instant t , la
dernière partie du document (partie algorithmique) tente de résoudre ce problème d’accroche.
Pour ce faire, plusieurs données sont nécessaires et font appel à des notions que nous avons
voulues de base, toujours en liaison avec le programme de seconde.
-La position du cyclone à l’instant t : lecture de coordonnées dans un repère.
-L’angle α , orientation du déplacement du cyclone ; (Nord - Est..) est mesuré en radian par
rapport à l’horizontale, compté positivement dans le sens trigonométrique, afin de faire le lien
ou de mettre en place (selon que le chapitre Trigonométrie aura déjà été abordé) la notion de
sens trigonométrique.
La notion de radian n’est pas exigible en classe de seconde, elle est, ici, imposée par
l’utilisation du logiciel algobox. Ce dernier ne prend les mesures d’angles qu’en radian.
Selon la mesure de l’angle α , les expressions donnant la nouvelle position du cyclone, ne
font pas toutes appels à des notions de base d’un élève de seconde. C’est pour cette raison,
que nous proposons de les déterminer dans le cas où 0 ≤ α ≤
π
et de laisser les autres en
2
approfondissement, ou en prolongement en devoir à la maison, avec les élèves maîtrisant la
lecture des valeurs de cosinus et de sinus sur le cercle trigonométrique.
Algorithmique
Plusieurs algorithmes ont été proposés, par ordre croissant de difficultés :
-dans un premier temps, l’algorithme ne donne que la position suivante du cyclone,
-dans un second temps, l’algorithme est complexifié en rajoutant une boucle pour calculer
plusieurs positions successives du cyclone,
-dans un dernier temps, des nouvelles variables sont ajoutées pour calculer la distance entre la
Réunion et le cyclone, puis l’affichage des positions du cyclone dans un repère.
La classe de seconde est une classe d’initiation à l’algorithmique, pour cette raison, nous
avons fait attention à la difficulté des algorithmes, en proposant une gradation, afin que
chaque enseignant puisse en utiliser, au moins une partie, avec ses classes.
Chaque algorithme est modifiable et complexifiable selon les compétences attendues et les
compétences des élèves : affichage de message, nouvelles variables…
Conclusion
Il s’agit d’attiser la curiosité et l’intérêt des élèves face à une notion que nombre d’entre eux
ne réinvestira pas ultérieurement et de faire un lien entre leur environnement et les
mathématiques ou ce que l’on pourrait décrire comme « donner des applications des
mathématiques dans la vie courante ».
Dans ce même objectif, plusieurs algorithmes sont présentés afin de montrer aux élèves le réel
(comprendre « dans la vie de tous les jours ») intérêt de l’algorithmique.
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Il ne s’agit cependant pas de restreindre l’étude des vecteurs aux notions liées aux cyclones
mais d’en faire une accroche, une étude en réponse à une résolution de problème. Pour cette
raison, plusieurs points d’approfondissements ont été proposés.
Ces propositions ne sont pas exhaustives, simplement des pistes de réflexion.
Mise en œuvre concrète en classe
A partir d’une carte générale satellite où apparaît le cyclone (page de garde), Météo - France
propose une carte répertoriant les différentes positions du cyclone (relevés toutes les 6 heures)
et la trajectoire partielle (carte ci-dessous). La carte est à télécharger sur le site
http://www.meteo.fr/temps/domtom/La_Reunion/meteoreunion2/ pendant la saison
cyclonique.
Nous ne considérons que les points journaliers et non les trajectoires courbes durant le jour.
Un repère est introduit sur la carte Météo - France (repere_image.ggb) où apparaît la
trajectoire incomplète. La Réunion devient l’origine du repère, représentant le point d’impact
redouté.
Notions abordées
Notion introduite
Repère
Coordonnées de
point dans un
repère
Caractérisation
d’un vecteur :
-direction
-sens
-norme
S. FUR
Problèmes avec les
cyclones
Choix du repère le plus
adapté à la résolution
du problème
Fichier
Visualisation
carte OI vide.png
Emplacement du
cyclone sur la carte
-Coordonnées à partir
du repère orthonormé
avec l’origine sur la
Réunion.
-Coordonnées avec
lecture longitude latitude
Déplacement du
cyclone
-Représentation du
déplacement du cyclone
entre deux positions
relevées par MétéoFrance par un vecteur.
-Lien entre norme du
vecteur et distance de
déplacement du
cyclone.
repere_image.ggb
repere_image_
fond.ggb
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Coordonnées d’un
vecteur
coordonnees
vecteurs.ggb
Coordonnées du
vecteur AB
coordonnees
vecteur_AB.ggb
Egalité de deux
vecteurs
Où sera le cyclone
demain si sa vitesse
reste constante ?
repere_image_
fond.ggb
Prévoir la position du
cyclone demain s’il se
déplace dans la même
direction et selon la
même vitesse.
(Apprendre à tracer
deux vecteurs égaux en
utilisant les
coordonnées ou la règle
et le compas)
Algorithme :
-2 vecteurs sont-ils
égaux ?
algorithmes utiles
-Calcul de la
distance sur un
temps t
algorithmes_utiles
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construction de la
somme de
vecteurs.ggb
Somme de deux
vecteurs
Algorithme :
algorithmes_utiles
Multiplication
d’un vecteur par
un réel k
repere_image
Où sera le cyclone
demain si sa vitesse est fond_multiplication.
ggb
multipliée par un
réel ?
Prévoir la position du
cyclone demain s’il se
déplace dans la même
direction deux fois plus
vite (ou deux fois moins
vite …).
Apprendre à tracer un
vecteur.
Colinéarité
Algorithme :
-Deux vecteurs
sont-ils colinéaires ?
algorithmes_utiles
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regle du
parallelogramme.ggb
Vecteurs et
parallélogrammes
-Vecteurs et
translation
Algorithme :
Déterminer le 4ième
point d’un
parallélogramme
algorithmes_utiles
-Parallélogrammes
et égalité de
vecteurs
Collecte des informations
Les positions successives réelles (les coordonnées) du cyclone, qui disparaissent au fur et à
mesure du site de Météo - France, sont sauvegardées jour après jour dans un tableur.
Grâce à ce fichier, la notion « d’égalité de deux vecteurs » peut-être travaillée en liaison avec
l’utilisation du tableur. On peut comparer deux vecteurs en choisissant une marge d’erreur, en
comparant la différence de leurs coordonnées à la marge d’erreur choisie et ainsi introduire la
formule test ET du tableur.
Coordonnées du
vecteur déplacement
entre les positions 1
et 2
S. FUR
Coordonnées du
vecteur
déplacement entre
les positions 2 et 3
Vecteurs dans l’océan indien
Le cyclone
n’a pas un
déplacement
uniforme
entre les
jours 1,2 et
2,3. 10/17
On peut ajouter une colonne pour garder en mémoire les positions successives éventuelles
déterminées par algorithmique (cf. ci-dessous) afin de comparer facilement la position prévue
par l’élève et la position réelle donnée par Météo - France le lendemain.
Algorithme : Prévoir les positions successives du cyclone
Connaissant la position actuelle du cyclone, sa vitesse de déplacement et sa direction, nous
souhaitons prévoir les positions successives futures.
En projetant la carte Météo - France avec les dernières positions du cyclone et un repère
centré sur la Réunion, les élèves peuvent mettre en place une réflexion : prévoir la position
suivante du cyclone si celui-ci garde la même direction et la même vitesse.
La nouvelle position déterminée, par les élèves, en utilisant l’égalité de vecteurs et la position
déterminée par l’enseignant calculée avec un algorithme, seront comparées le lendemain avec
une troisième position celle donnée par Météo - France.
Ce travail demandé aux élèves peut se faire sous forme de devoir à la maison : prévoir les
positions successives du cyclone sur une journée soit 4 points (un relevé Météo - France a lieu
toutes les 6 heures).
Présentation
Soit C ( x ; y ) la position actuelle du cyclone. Prévoyons la nouvelle position C ' ( x '; y ') .
Pour ce faire nous avons besoin de la vitesse de déplacement et de la direction. La direction
est donnée par l’angle α entre l’horizontale et CC ' .
Sur le site de Météo - France, est donnée la position du cyclone que nous transposons dans le
repère choisi et la direction de déplacement du cyclone en fonction des points cardinaux.
Ci-dessous, le tableau de correspondance entre la direction Météo - France et l’angle α .
Direction
Nord NordMétéo - France
Est
Valeur de l’angle α utilisé π
3π
dans l’algorithme
2
4
S. FUR
Est SudEst
π
5π
4
Sud
−
Vecteurs dans l’océan indien
π
2
SudOuest
−
π
4
Ouest NordOuest
0
π
4
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Météo - France propose des relevés de position toutes les 6 heures, pour comparer nous
choisissons un intervalle de temps égal à 6 soit t = 6 . Ainsi nous pouvons calculer la distance
d = CC ' ( d = v × t ) parcourue et déterminer les nouvelles coordonnées du cyclone en
utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle (cf. Schéma au-dessus).
Selon le déplacement du cyclone, différents cas se présentent.
Si 0 ≤ α ≤
π
2
C’est le cas réalisable avec des élèves de seconde (cf. schéma ci-dessus). Les expressions
x '− x = d × cos α et y '− y = d × sin α
permettent de déterminer les nouvelles coordonnées ( x '; y ') du cyclone en
trigonométrie dans le triangle rectangle.
utilisant la
Il s’agit ensuite de généraliser les expressions obtenues aux autres cas d’angles (c’est-à-dire
aux autres déplacements possibles du cyclone) sans toutefois les démontrer toutes.
Il est toutefois possible, dans un objectif d’approfondissement, de travailler la lecture de
cosinus et sinus d’angles sur le cercle trigonométrique ( cos (π − α ) = − cos α ,
sin (π − α ) = sin α …).
Les différents cas sont explicités ici mais ne sont, en aucun cas, un attendu de base des élèves
de seconde.
Si
π
2
≤α ≤π
S. FUR
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Dans ce cas,
x − x ' = d × cos β
et
⇔ x − x ' = d × cos (π − α )
et
⇔ x − x ' = − d cos α
⇔ x '− x = d cos α
et
et
y '− y = d × sin β
y '− y = d × sin (π − α )
y '− y = d × sin α
y '− y = d × sin α
Les expressions restent valables dans ce cas là.
Si π ≤ α ≤
3π
2
Dans ce cas :
x − x ' = d × cos β
⇔ x − x ' = d × cos (α − π )
⇔ x − x ' = − d × cos α
⇔ x '− x = d × cos α
y − y ' = d × sin β
et
y − y ' = d × sin (α − π )
et
y − y ' = −d × sin α
y '− y = d × sin α
et
et
Les expressions sont encore valables.
S. FUR
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Si
3π
≤ α ≤ 2π
2
Dans ce cas :
x '− x = d × cos β
⇔ x '− x = d × cos ( 2π − α )
⇔ x '− x = d × cos α
⇔ x '− x = d × cos α
et
et
et
et
y − y ' = d × sin β
y − y ' = d × sin ( 2π − α )
y − y ' = −d × sin α
y '− y = d × sin α
Les expressions sont encore valables dans ce cas.
Notions abordées
•
•
•
•
S. FUR
rappels de troisième :
- Les grandeurs : lien entre distance – vitesse - temps avec la formule d = v × t .
- La trigonométrie dans le triangle rectangle.
Introduction du sens trigonométrique.
Le radian (obligatoire pour traduire l’algorithme avec le logiciel algobox).
Pour aller plus loin : travail sur le cercle trigonométrique et les valeurs de cosinus et
sinus : cos (π − α ) = − cos α , sin (π − α ) = sin α .
Vecteurs dans l’océan indien
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Algorithmes
Prévision de la position suivante : position successive.alg
En saisissant les coordonnées actuelles du cyclone ( x ; y ) , la vitesse de déplacement v ,
l’angle α correspondant à la direction, donné par le tableau de correspondance ci-dessus, et
le temps t entre deux positions, il est possible de prévoir sa nouvelle position.
Début
Saisir ( x ; y )
Saisir v
Saisir t
Saisir α
d prend la valeur v × t
x ' prend la valeur d × cos α + x
y ' prend la valeur d × sin α + y
Afficher ( x '; y ') .
Fin
Nous pouvons ensuite re-initialiser l’algorithme avec les nouvelles valeurs données par les
relevés Météo - France et re-prévoir la position 6 heures plus tard.
Positions successives
Afin de prévoir plusieurs positions successives, par exemple sur une journée, une boucle est
rajoutée dans l’algorithme précédent : algorithme positions successives.alg.
Les variables d’entrée restent les mêmes en rajoutant le nombre de position voulues
( nbr _ position ).
Les points obtenus successivement peuvent être tracés et superposés avec le repère et la carte
Météo - France. (cf. fichier ci-dessous).
Début
Saisir ( x ; y )
Saisir v
Saisir t
Saisir α
Saisir nbr _ position
Pour i allant de 1 à nbr _ position
d prend la valeur v × t
x ' prend la valeur d × cos α + x
y ' prend la valeur d × cos α + y
tracer point ( x '; y ')
Afficher ( x '; y ') .
Fin
S. FUR
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En superposant les points obtenus par l’algorithme et la carte repérée, Il est ainsi aisé de
constater si le cyclone touche la Réunion. (Les deux images sont ici superposées à l’aide d’un
logiciel de TNI.)
: zip des fichiers d'Algobox
Pour évaluer l’impact que son passage pourrait avoir, nous pouvons calculer la distance entre
le cyclone et la Réunion pour chaque nouvelle position, (puis de donner la distance à laquelle
le cyclone a été le plus proche de l’île).
algorithmes\algorithme positions successives_distance.alg
S. FUR
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Ce calcul de distance peut être effectué, en ajoutant une colonne, sur la feuille de calcul
précédente (cf. collecte des informations) avec les positions réelles relevées par Météo –
France.
En approfondissement en algorithmique, un test de sortie peut être ajouté par rapport à la
distance calculée : si la distance est inférieure à une valeur choisie (nommée distance_alerte
dans l’algorithme), un message est affiché, par exemple « alerte rouge déclenchée »…
algorithmes\algorithme positions successives_distance_alerte.alg
Evaluation des élèves au cours de ces activités
Les notions abordées, en liaison avec le programme de seconde, ont été présentées
dans un tableau afin d’envisager une évaluation par compétences tout au long du chapitre en
plus d’une évaluation finale. La majorité des compétences pouvant être présentées par
l’enseignant à l’aide d’une animation dynamique ou découvertes par les élèves à l’aide d’un
logiciel de géométrie dynamique en suivant une activité guidée.
La partie algorithmique permet d’évaluer trois autres items, dont un TICE :
-revoir et approfondir les notions de trigonométrie dans un triangle rectangle.
-transcrire un raisonnement mathématique en algorithme.
-apprendre un langage algorithmique d’un logiciel donné, ici algobox, qui montre aux élèves
une utilisation pertinente des TICE.
Le premier cas de la partie algorithmique : prévision de la position du cyclone à h+6
ou à J+1 dans le cas où le cyclone se dirige dans le quart Nord - Est (c’est le cas où les
formules de trigonométrie apparaissent le plus facilement), peut être cherchée par les élèves,
individuellement ou en groupe, sous forme de devoir à la maison avec des questions guidées.
Ce devoir maison compterait deux parties : la première, recherche des formules
trigonométriques et la deuxième, écriture de l’algorithme avec transcription dans un langage
de programmation. La partie utilisation d’un logiciel peut être imprimée et rendue à
l’enseignant avec le reste du devoir ou transmis sous forme numérique (par mail, clé USB...).
Ces activités permettent de varier les types d’évaluation : les compétences évaluées en
classe, la recherche et la prise d’initiative, sous forme de devoir maison ou en salle
informatique, et les compétences TICE avec l’utilisation d’un logiciel algorithmique, de
géométrie dynamique ou d’un tableur.
Liens
- http://www.meteo.fr/temps/domtom/La_Reunion/meteoreunion2/
-
logiciel (gratuit) de suivi du cyclone sur le site de Météo – France : http://www.mr.li/faq/log_cyclone.html puis http://ardf.free.fr/cyclone/cyclone.html.
-
http://www.meteo.fr/temps/domtom/La_Reunion/webcmrs9.0/francais/index.html
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