12/01 - 17/01 - Alain TROESCH

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2014/2015
Programme des colles de la semaine 12 (12/01 – 17/01)
I. Structures algébriques (voir semaine 11)
II. Arithmétique
1. Divisibilité, nombres premiers
• Diviseurs, multiples
• Caractérisation de la divisibilité par les idéaux de Z.
• Couple d’entiers associés.
• (dans un anneau principal) a et b sont associés ssi a et b diffèrent multiplicativemet d’un élément inversible,
ssi (a) = (b). Cas de Z.
• Division euclidienne
• Congruences
• Nombres premiers, nombres composés
• Lemme d’Euclide (la démonstration donnée à ce stade est à peu près celle de Gauss). Lien avec l’intégrité de
Z/pZ.
• Infinitude de l’ensemble des nombres premiers
• Crible d’Erathostène
• Petit théorème de Fermat (révision)
2. Décomposition primaire
• Existence et unicité de la décomposition
• Notion de valuation p-adique.
• Valuation d’une somme, d’un produit.
• Formule de Legendre (HP, à savoir redémontrer à la demande)
3. PGCD, PPCM
• Définitions équivalentes du PGCD (maximum pour 6 des diviseurs ; maximum pour la divisibilité des diviseurs ;
borne inférieure au sens de la divisibilité ; par les idéaux)
• Définitions équivalents du PPCM (de même)
• Distributivité du produit sur ∨ et ∧.
• Algorithme d’Euclide
• Identité de Bézout au + bv = a ∧ b.
• Algorithme d’Euclide étendu pour le calcul des coefficients de Bézout.
• PGCD, PPCM d’une famille finie d’entiers ; relation de Bézout dans ce cadre.
• Expression du PGCD et du PPCM à l’aide des valuations p-adiques.
• Produit du PGCD et du PPCM (démontré à ce stade avec la décomposition primaire).
4. Entiers premiers entre eux
• Définition.
• Théorème de Bézout (caractérisation des entiers premiers entre eux par l’existence d’une relation de Bézout
au + bv = 1)
• Lien avec l’inversibilité dans Z/nZ. Calcul d’un inverse modulo n.
• Lemme de Gauss (démonstration suivant la démarche de Gauss, par la décomposition primaire).
• Famille finie d’entiers premiers entre eux deux à deux ou dans leur ensemble.
5. Présentation d’un autre parcours possible : Il s’agit essentiellement d’un changement dans l’ordre de
présentation, en justifiant certains implications supplémentaires :
• On commence par établir Bézout, puis le lemme de Gauss par une relation de Bézout.
• Le lemme d’Euclide en est une conséquence immédiate
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Autre conséquence : a ∧ b = 1, a|c et b|c entraîne ab|c
Corollaire : si a ∧ b = 1, a ∨ b = ab
On en déduit (sans passer par la décomposition primaire) le produit du pgcd et du ppcm.
La décomposition primaire se montre indépendamment, à la manière précédente, essentiellement avec le lemme
d’Euclide.
6. Fonction indicatrice d’Euler (HP)
• Définition.
• Propriétés de multiplicativité et expression en fonction des facteurs premiers (fait en tant qu’exercice du cours).
• Théorème d’Euler (HP)
7. Théorème des restes chinois
• Le produit de groupes cycliques d’ordres 2 à 2 premiers entre eux est cyclique
• Théorème chinois : existence et unicité
• Algorithme de résolution.
• Cas de systèmes de congruences modulo des entiers non nécessairement premiers entre eux.