Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Etienne Bézout (1730 -1783) Mathématicien français, célèbre pour le théorème de Bachet-Bézout lié aux équations diophantiennes en arithmétique et pour son théorème sur le nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques, résultat crucial en géométrie algébrique. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 1 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité et I. Le PGCD de deux entiers désignent deux nombres entiers relatifs non nuls. Notation On note "#$; &' l’ensemble des diviseurs communs à $ et & ainsi + # ; ' = + # ' ∩ + # '. Exemples : o Déterminer +#12; 30', +# ; 0', +#1; ' pour tout . o Quel élément appartient à +# ; ' pour tout et ? o Si divise , que peut-on en déduire ? [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 2 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Propriétés : 1. Soient et deux entiers relatifs +# ; ' = +# − ; ' et ∀9 ∈ ℤ +# ; ' = +# − 9 ; ' 2. Soient un entier relatif et un entier naturel non nul Si < est le reste de la division euclidienne de par alors +# ; ' = +# ; <' Démonstration Propriété et définition : Soient et deux entiers relatifs non nuls, +# ; ' admet un plus grand élément, on le note =>?@#$; &' #Plus Grand Diviseur Commun'. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 3 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Propriétés : Soient et deux entiers relatifs non nuls o DEFG # ; ' = DEFG # − ; ' o ∀9 ∈ ℤ DEFG # ; ' = DEFG # − 9 ; ' Lemme d’Euclide : Soient un entier relatif et un entier naturel non nul Si I est le reste de la division euclidienne de $ par & alors =>?@#$; &' = =>?@#&; I' Exemples : Déterminer le DEFG de 1602 et 2670. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 4 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Propriétés : Soient et deux entiers relatifs non nuls ∀9 ∈ ℤ∗ DEFG #9 ; 9 ' = |9 |DEFG # ; ' Définition : On dit que deux entiers relatifs non nuls, entre eux lorsque =>?@#$; &' = O. et sont premiers Propriétés : Soient et deux entiers relatifs non nuls DEFG # ; ' = P si, et seulement si, il existe deux entiers ′ et ′ premiers entre eux tels que = P ′ et = P ′. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 5 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Propriété : Soient et deux entiers relatifs non nuls Si DEFG # ; ' = P alors il existe deux entiers relatifs R et S tels que P = R + S. Remarque : Un tel couple appelé coefficient de Bézout n’est pas unique. Exemple : Pour = 120 et = 75, déterminer un couple d’entiers relatifs tels que R + S = DEFG # ; '. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 6 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Théorème de Bézout : Soient et deux entiers relatifs non nuls DEFG # ; ' = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs R et S tels que R + S = 1. Exemple : Pour tout [ ∈ ℕ∗ , 2[ + 1 et 3[ + 1 sont-ils premiers entre eux ? [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 7 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Exemple : Pour tout [ ∈ ℕ∗ , si [ divise 42 alors [ divise 6 ou [ divise 7. Vrai ou faux ? Théorème de Gauss : Soient , et _ trois entiers relatifs non nuls Si divise _ et est premier avec alors divise _. Démonstration Exemple : Déterminer tous les couples d’entiers relatifs #`; a' solution de l’équation 6` = 5a. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 8 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité II. Nombres premiers Définition : Un entier naturel c est premier lorsqu’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre ayant au moins trois diviseurs est dit composé. Exemple : Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers ? 7 - 6 - 5 - 1 - 154 - 647382915 - 899 – 9059 – 142 661 [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 9 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Propriété : Tout entier naturel [ ≥ 2 admet au moins un diviseur premier. Théorème, critère de primalité : Soit [ un entier naturel, [ ≥ 2 Si [ n’est pas premier alors il admet au moins un diviseur premier c tel que c ≤ √[. Corollaire, test de primalité : Soit [ un entier naturel, [ ≥ 2 Si [ n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à √[ alors il est premier. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 10 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Lemme : Soit c un nombre premier Si [ est un entier naturel alors soit c divise [ soit c et [ sont premiers entre eux. démo : Propriété : Soit et deux entiers relatifs non nuls et c un nombre premier, Si c divise alors c divise ou c divise . démo : [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 11 sur 12 Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout Terminale S spécialité Théorème : L’ensemble des nombres premiers est infini. démo : Théorème de décomposition en nombres premiers : Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 est un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. C'est-à-dire que, ∀[ ∈ ℕ, [ ≥ 2 k = lO mO ×lo mo × …×lq mq où cs < cu < ⋯ < cw sont des nombres premiers et xs , xu , … , xw sont des entiers naturels non nuls. Exemple : Décomposer 3600 et 420 en facteurs premiers. Donner le PGCD et le PPCM de 3600 et 420. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 12 sur 12