I- PGCD de deux entiers 1- Définition Propriété et définition 1 : Si a

PGCD
PPCM
I- PGCD de deux entiers
1- Définition
Propriété et définition 1 :
Si a et b sont deux entiers relatifs non tous les deux nuls, l’ensemble des diviseurs communs à a et b
admet un plus grand élément. On l’appelle plus grand diviseur commun et on le note PGCD(a, b).
Remarques :
Si a et b sont deux entiers non tous les deux nuls :
- PGCD(a, b) est un entier strictement positif
- Si 0 < b ≤ a, PGCD(a, b) est un entier inférieur ou égal à b.
- Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a, b) = 1
- PGCD(1, b) = 1 et pour b ≠ 0 , PGCD(0, b) = |b|
Propriété 2 : réduction du PGCD
Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
PGCD(a, b) = PGCD(a-b, b) = PGCD(a-kb, b) pout tout k Є Z.
En particulier :
- Si 0 < b ≤ a, PGCD(a, b) = PGCD(r, b) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
- Si b divise a, PGCD(a, b) = b
2- Algorithme d’Euclide
Propriété 3 : Algorithme d’Euclide
Soient a et b deux entiers tels que 0 < b ≤ a
L’algorithme d’Euclide permet en un nombre fini d’étapes de calculer PGCD(a, b) :
(1) Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b
(2) Si r = 0, PGCD(a, b) = b
(3) Si r ≠ 0, remplacer a par b et b par r et recommencer à partir de (1).
PGCD(a, b) est le dernier reste non nul obtenu.
3- Autres propriétés
Propriété 4 : homogénéité
Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Pour tout k Є N*, PGCD(ka, kb) = k PGCD(a, b)
Corollaire : propriété caractéristique
Si a et b sont premiers entre eux, alors PGCD(ka, kb) = k
Conséquence :
Toute fraction a/b peut s’écrire sous forme irréductible en divisant son numérateur et son dénominateur
par PGCD(a, b)
Propriété 5 : décomposition en facteurs premiers :
Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2.
- S’ils n’ont aucun facteur premier commun, PGCD(a, b) = 1
- Sinon, PGCD(a, b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun
étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans leurs deux décompositions.
II- Théorème de Bézout
Propriété 6 : combinaisons linéaires
Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d = PGCD(a, b).
Il existe u et v entiers relatifs tels que : au + bv = d (égalité de Bézout)
Théorème 1 : théorème de Bézout
Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs u et v tels
que au + bv = 1
Exemple : Soient a = 71 et b = 19. Trouver deux nombres entiers u et v tels que au + bv = 1
71 = 19 × 3 + 14
c’est-à-dire a = b × 3 + 14
d’où 14 = a – 3b
19 = 14 × 1 + 5
c’est-à-dire b = (a – 3b) + 5
d’où 5 = b – (a – 3b) = 4b – a
14 = 5 × 2 + 4
c’est-à-dire a – 3b = (4b – a)2 + 4 d’où 4 = 3a – 11b
5=4×1+1
c’est-à-dire 4b – a = (3a – 11b) + 1 d’où 1 = 15b – 4a
d’où 1 = 71(-4) + 19(15)
d’où (u ; v) = (-4 ; 15)
Application : équation Diophantienne ax + by = c où c = PGCD(a, b)
C’est une équation à coefficients entiers et dont les inconnues sont des entiers.
Soit l’équation (E) : 62x + 43y = 1
1) Ecrire l’algorithme d’Euclide avec a et b
2) Déterminer une solution particulière (x0 ; y0) de (E)
3) Résoudre (E)
1) 62 = 43 × 1 + 19
43 = 19 × 2 + 5
19 = 5 × 3 + 4
5=4×1+1
4=4×1+0
d’où PGCD(62, 43) = 1
Donc d’après le théorème de Bézout (E) admet des solutions.
2) a = b × 1 + 19
d’où 19 = a – b
b = (a – b)2 + 5
d’où 5 = 3b – 2a
(a – b) = (3b – 2a) 3 + 4
d’où 4 = 7a – 10b
(3b – 2a) = (7a – 10b) + 1 d’où 1 = 13b – 9a
donc 1 = -9(62) + 13(43)
d’où (-9 ; 13) = (x0 ; y0) est une solution particulière de (E)
3) (E) équivaut à 62x + 43y = 62x0 + 43y0
1
équivaut à 62(x – x0) = 43(y0 – y)
- 62 doit diviser 43(y0 – y) et 62 est premier avec 43 donc 62 doit diviser (y0 – y) (d’après le
théorème de Gauss)
- 43 doit diviser 62(x – x0) et 43 est premier avec 62 donc 43 doit diviser (x – x0)
donc il existe k et ℓ entiers tels que : y0 – y = 62k
donc (E) équivaut à 62 × 43ℓ = 43 × 62k
équivaut à ℓ = k
d’où x = x0 + 43k et y = y0 + 62k
c’est-à-dire x = – 9 + 43k et y = 13 – 62k
et x – x0 = 43ℓ
d’où S = {(– 9 + 43k ; 13 – 62k), k Є Z}
III- Théorème de Gauss
Théorème 2 : Théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c.
Conséquences :
(1) Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors leur produit ab divise c
(2) Un entier a est premier avec chacun des nombres b1 et b2 si et seulement si il est premier avec leur
produit b1b2
(3) Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b.
(4) Si un nombre premier p divise un produit de nombres premiers alors p est égal à l’un d’entre eux.
IV- PPCM
Définition 2 :
Soient a et b des entiers naturels non nuls. L’ensemble des multiples non nuls communs à a et b dans N
est un ensemble non vide (il contient ab). Son plus petit élément non nul est le PPCM (plus petit
multiple commun) des entiers a et b et se note PPCM(a ; b).
Propriété 7 : décomposition en facteurs premiers :
Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2.
- S’ils n’ont aucun facteur premier commun, PPCM(a, b) = ab
- Sinon, PPCM(a, b) est égal au produit des facteurs premiers des deux nombres, chacun étant affecté
du plus grand exposant avec lequel il figure dans leurs deux décompositions.
Remarque :
Si a est un entier naturel, PPCM(a ; 0) = PPCM(0 ; a) = 0
Propriété 8 :
Tout multiple commun à a et b est un multiple de PPCM(a ; b)
Propriété 9 : homogénéité
Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Pour tout k Є N*, PPCM(ka, kb) = k PPCM(a, b)
Propriété 10 :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = ab