Rudiments d'arithmétique dans 1 Multiples et diviseurs. 1.1 1.2 1.3 1.4 Dénition et propriétés élémentaires. Division euclidienne. . . . . . . . . . PGCD. . . . . . . . . . . . . . . . . PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Nombres premiers. . . . . 2.1 Dénitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Décomposition en produit de facteurs premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 N 1 1 1 2 3 3 3 5 Multiples et diviseurs. 1.1 Dénition et propriétés élémentaires. Dénition 1. Soit (a, b) ∈ N2 . On dit que b divise a (ou est un diviseur de a) s'il existe un entier k ∈ N tel que a = kb. On note b | a. On dit encore que a est un multiple de b si b divise a. Par exemple, 1, 2, 3, et 6 sont les diviseurs de 6. Notons que 1 divise tout nombre entier. Tous les entiers sont diviseurs de 0, qui ne divise que lui-même. Proposition 2. Soient (a, b, c) ∈ N3 . 1. a | a (réexivité) 2. Si a | b et b | a alors a = b (antisymétrie) 3. Si a | b et b | c, alors a | c (transitivité) Remarque. La relation | que l'on vient de dénir sur N possède donc des propriétés similaires à la relation ≤ dénie sur R. En un certain sens, elle est aussi une relation d'ordre. Cet ordre est dit partiel car on ne peut pas toujours comparer deux entiers. Par exemple 3 est "plus petit" que 12 (3 divise 12) mais 9 n'est ni plus petit que 12, ni plus grand. 1.2 Division euclidienne. Voici deux divisions de 22 par 4 : 22 = 4 × 4 + 6 22 = 4 × 5 + 2 1 PCSI1 L ycée Albert S chweitzer Il n'y a rien à redire à la première égalité sinon que l'on peut encore trouver une fois 4 dans le reste 6. La seconde division est meilleure de ce point de vue : ce sera la division euclidienne de 22 par 4. Théorème 3. Soit (a, b) ∈ N × N∗ . Il existe un unique couple (q, r) ∈ N2 tel que a = bq + r et 0 ≤ r < b. Les entiers q et r sont appelés respectivement quotient et reste dans la division euclidienne de a par b. Exemple. Faire la division euclidienne de 666999 par 123, en utilisant la méthode apprise en CE2. 1.3 PGCD. La preuve de l'existence d'un PGCD pour deux entiers a et b repose sur le lemme suivant. Lemme 4. Soit (a, b, c, k) ∈ N4 . Supposons a = bk + c. Alors D(a, b) = D(b, c), où D(p, q) est l'ensemble des diviseurs communs à deux entiers naturels p et q . Théorème -Dénition 5. Soient a et b deux entiers naturels. Il existe un unique entier d appelé Plus Grand Commun Diviseur de a et b satisfaisant 1. d | a et d | b. 2. ∀δ ∈ N (δ | a et δ | b) =⇒ δ | d. On le notera PGCD(a, b) (la notation a ∧ b est aussi utilisée.) Remarque. Le PGCD de a et b est le "plus grand", parmi les diviseurs communs de a et b pour la relation d'ordre ≤ mais aussi (et surtout) pour la relation |. Ci-dessous, écrit en Python, l'algorithme d'Euclide utilisé dans la preuve. Algorithme 6 (d'Euclide). def PGCD(a,b): while b!=0: a,b=b,a%b return a Remarque. En Python, a%b renvoie le reste dans la division euclidienne de a par b tandis que a//b donne le quotient. 2 Proposition 7. Soit (a, b) ∈ N2 et k ∈ N. PGCD (ka, kb) = k · PGCD(a, b). Une des conséquences pratiques de la proposition précédente est le fait suivant. Si d = PGCD(a, b), alors il existe deux entiers a0 et b0 tels que a = da0 et b = db0 . Il peut être pratique de travailler avec a0 et b0 car leur PGCD vaut 1. Proposition 8 (Lemme de Gauss). Soient a, b, c trois entiers. Si a | bc et PGCD(a, b) = 1 alors a | c. Remarque. Lorsque PGCD(a, b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. 1.4 PPCM Théorème -Dénition 9. Soient a et b deux entiers naturels. Il existe un unique entier m appelé Plus Petit Commun Multiple de a et b satisfaisant 1. a | m et b | m. 2. ∀µ ∈ N (a | µ et b | µ) =⇒ m | µ. On le note PPCM(a, b) (la notation a ∨ b est aussi utilisée). Proposition 10. Pour tous a, b ∈ N, PGCD(a, b) · PPCM(a, b) = ab. 2 Nombres premiers. 2.1 Dénitions et premières propriétés. Dénition 11. Un entier p ∈ N \ {0, 1} est dit premier si ses seuls diviseurs sont 1 et p. Exemples. 2, 3, 5, 7, 11, 13. . . 3 Proposition 12. Soit p un nombre premier et a, b deux entiers naturels. Si p divise ab, alors il divise a ou b. Proposition 13. Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier. On peut aner quantitativement le résultat précédent. Proposition 14. Pour tout √ entier n non premier (et supérieur à 2), il existe un nombre premier divisant n et inférieur à n. Application : crible d'Eratosthène. Un nombre non premier inférieur à 100 a d'après ce qui précède un diviseur premier inférieur à 10. Ainsi, une fois éliminé de la grille ci-dessous tous les multiples (non triviaux) de 2, 3, 5 et 7, il ne restera que les entiers premiers inférieurs à 100. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 Théorème 15 (d'Euclide). Il existe une innité de nombres premiers. Hors-programme, hors de portée, mais très beau : le théorème des nombres premiers (1896). Théorème 16 (des nombres premiers, HP). Soit π(n) le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à n. On a π(n) ∼ 4 n . ln(n) 2.2 Décomposition en produit de facteurs premiers. Le théorème suivant, admis, est une conséquence de la proposition 13 Théorème 17. Pour tout entier n ≥ 2, il existe un entier m ≥ 1, des nombres premiers p1 , p2 , . . . pm , et des entiers non nuls v1 , . . . vm tels que n= m Y pvkk . k=1 Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. Ce théorème nous permet de décrire les diviseurs d'un entier qu'on a décomposé en facteurs premiers. Théorème 18. Soit n ≥ 2. On suppose que la décomposition en facteurs premiers de n est n = diviseurs de n sont exactement les entiers q de la forme q= m Y k=1 puk k avec ∀k ∈ J1, mK 0 ≤ uk ≤ vk . 5 m Q k=1 pvkk . Les