Feuille d`exercices 13 - Espaces vectoriels

Feuille d’exercices 13 - Espaces vectoriels - MPSI 1
Joyeux Noël et bonne année 223*3*3
Exercice 1
0
Exercice 7
Soit E un K-e-v et f ∈ L(E).
00
1. Soient G et G deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que G0 ∪ G est un groupe si et seulement si G0 ⊂ G00
ou G00 ⊂ G0 .
1. Montrer que Im f + Ker f = E ⇔ Im f = Im f 2 .
2. Montrer que Im f ∩ Ker f = {0} ⇔ Ker f = Ker f 2 .
2. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K- Exercice 8 Soit p ∈ L(E) un projecteur non nul et qui n’est
espace vectoriel E. Montrer que F ∪G est un sous-espace pas l’identité.
vectoriel de E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F .
1. Montrer que IdE − p est un projecteur, que
3. Montrer que F + G = Vect(F ∪ G).
Ker (IdE −p) = Im p et que IdE −p n’est pas inversible.
4. Soient V1 , V2 , ..., Vn n s-e-v de E.
2. Soit P = {a.p + b.Id, (a, b) ∈ K 2 }. Montrer que P
Montrer que V1 ∪ V2 ∪ ... ∪ Vn est un s-e-v de E si et
est un s-e-v de L(E) et un sous-anneau commutatif de
seulement si l’un des s-e-v Vi contient tous les autres.
(L(E), +, ◦).
Exercice 2
Dans cet exercice, E = F(R, R).
3. Montrer que si λ ∈ K{1}, IdE − λp est un automorphisme de E (on cherchera son inverse dans P).
1. L’ensemble {f ∈ E, f (1) = 1} est-il un sous-espace
vectoriel de E ?
4. Déterminer les éléments inversibles de l’anneau P.
1. On suppose que p ◦ q = IdE . Montrer que q ◦ p est un
projecteur.
2. Montrer que ∀n ∈ N, un = an p + bn q.
Exercice 9 Soit E un K-e-v, a et b deux scalaires distincts. On
2. Soit F = {x 7→ a ch(x − b), (a, b) ∈ R2 }. Montrer que suppose que (u − a.Id ) ◦ (u − b.Id ) = 0
E
E
L(E) .
sh et ch sont des éléments de Vect(F ) puis que F n’est
1
pas un sous-espace vectoriel de E.
(u − a.IdE ) et
1. Montrer que p =
b−a
Exercice 3
1
(u − b.IdE ) sont deux projecteurs de E.
q=
Soit E un K-espace vectoriel, p et q deux projecteurs.
a−b
3. En supposant que ab 6= 0, exprimer un en fonction de p
et q pour n ∈ Z.
2. Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si
p ◦ q = q ◦ p = 0L(E) .
3. Montrer que Ker p = Ker q si et seulement si p = p ◦ q
et q = q ◦ p.
Exercice 4
Soit E un K-espace vectoriel. Soit U un sous-espace vectoriel
de E qui admet deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
dans E, V et W . Soit p le projecteur sur V parallèlement à U .
Montrer que p définit un isomorphisme de W sur V .
Exercice 5
1. Soit ϕ une forme linéaire non nulle sur un K-espace vectoriel E. Montrer qu’il existe un vecteur x0 ∈ E tel que
Ker ϕ et Vect ({x0 }) sont supplémentaires dans E.
2. Soient ϕ et ψ deux formes linéaires. Montrer que
Ker ψ ⊂ Ker ϕ ⇔ ∃λ ∈ K, ϕ = λψ.
Exercice 6
Soient F , G et H trois s-e-v d’un K-e-v E.
1. Montrer que (F ∩ G) + (F ∩ H) ⊂ F ∩ (G + H).
2. Montrer que F + (G ∩ H) ⊂ (F + G) ∩ (F + H).
3. Montrer que F ∩ (G + (F ∩ H)) = (F ∩ G) + (F ∩ H).
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