Algèbre linéaire en dimension finie II

MPSI A
2004-2005
Feuille d’exercices
Algèbre linéaire en dimension finie II
Exercice 1: Montrer que toute application linéaire de K2 dans lui-même est de la
forme (x, y) 7→ (ax + by, cx + dy) où a, b, c, d ∈ K2 .
Exercice 2: Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies. Déterminer
la dimension de L (E, F).
Exercice 3: [suites linéaires récurrentes]
1. Pour chacune des relations récurrentes suivantes, exprimer un en fonction de
u0 , u1 et n (dans le corps des coefficients) :
1
un+2 = un+1 − un un+2 = 4un+1 − 8un un+2 = 2iun+1 + un .
4
2. Discuter dans chaque cas l’existence de solutions bornées.
3. Discuter en fonction du paramètre α ∈ R la dimension de l’espace vectoriel
des suites bornées vérifiant
un+2 = un+1 + αun .
Exercice 4: Soit E un K-espace vectoriel. Soit u ∈ L (E). On suppose que pour tout
x ∈ E, x et u(x) sont colinéaires. Montrer que u est une homothétie. En déduire qu’un
endomorphisme qui commute à tous les endomorphismes de E est une homothétie.
Exercice 5: Soit E un espace vectoriel de dimension n ∈ N et u ∈ L (E).
1. On suppose u2 = 0. Montrer que rg u ≤ n2 .
2. Soit v ∈ L (E). On suppose que Ker u + Ker v = Im u + Im v = E. Montrer que
les deux sommes sont directes.
3. Montrer que si Ker u = Im u, alors n est pair. Réciproquement, si n est pair,
montrer qu’il existe un endomorphisme u tel que Ker u = Im u.
Exercice 6: Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et F un sous-espace
vectoriel de dimension p. Montrer qu’il existe n − p formes linéaires (ϕi )i telles que
F=
\
Ker ϕi .
1≤i≤n−p
Montrer que les ϕi sont linéairement indépendantes.
Exercice 7: Soit u et v deux formes linéaires sur E. On suppose que Ker u ⊂ Ker v.
Montrer que u = v.
1