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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Exercices série 5
Compléments d'algèbre linéaire
Exercice 1
On note E l'espace vectoriel des fonctions dérivables de R dans R, et :
F = {f ∈ E, f (0) = f 0 (0) = 0}
;
G = {x 7→ ax + b, a, b ∈ R}
Montrer que E = F ⊕ G.
[al001]
Exercice 2
T
Montrer que l'ensemble des matrices M ∈ M2 (C), vériant M = M et de trace nulle, est un sous-espace vectoriel de
M2 (C). En donner une base.
[al002]
Exercice 3
Soit E un R-ev et f ∈ L(E) tel que f 2 + 2f − 3Id = 0. Montrer que E = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + 3Id).
En déduire qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.
[al003]
Exercice 4
Soit E un R-ev et λ ∈ R \ {0, 1}. Soit p un projecteur de E . Montrer que p − λIdE est injective.
[al004]
Exercice 5
Soient f1 , f2 , · · · , fn des endomorphismes d'un K-espace vectoriel E vériant :
f1 + f2 + · · · + fn = I d
et ∀i, j ∈ [[1, n]] , i 6= j, on a : fi ◦ fj = 0
On pose, pour tout i ∈ [[1, n]], Fi = Im fi .
1. Montrer que les fi (1 6 i 6 n) sont des projecteurs.
2. Montrer que pour tout i 6= j , on a Fi ⊂ Ker Fj .
3. En déduire que E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn .
[al005]
Exercice 6
Pour A, B dans Mn (R), résoudre dans Mn (R) l'équation :
X = Tr(X)A + B
[al006]
Exercice 7
1. Soit F un C-ev de dimension nie. Soit f ∈ L(E) tel que rg f = 1. Montrer que f est un projecteur si et seulement
si Tr f = 1.
2. En déduire l'ensemble des matrices de M2 (C) qui représentent un projecteur.
3. Soit a ∈ C. Montrer qu'il existe deux matrices de projection dont la somme vaut
a
0
0 2−a
.
[al007]
1/2
Exercice 8
Soient p, q deux projecteurs tels que p ◦ q = q ◦ p.
1. Montrer que p ◦ q est un projecteur.
2. Montrer que Ker(p ◦ q) = Ker p + Ker q et Im(p ◦ q) = Im p ∩ Im q .
[al008]
Exercice 9
Soit E un K-ev de dimension nie n et u, v ∈ L(E) tels que u ◦ v = 0 et u + v est inversible. Montrer que n = rg u + rg v .
[al009]
Exercice 10
Montrer qu'en dimension nie, il ne peut pas exister deux endomorphismes f et g tels que
f ◦ g − g ◦ f = IdE . Que peut-on dire en dimension innie ?
Indication : on pourra considérer les deux endomorphismes de C 1 (R, R) dénis par f : h 7→ h0 et g : h 7→ (x 7→ xh(x)).
[al010]
Exercice 11
Dans un K-espace vectoriel E de dimension nie non nulle, on considère un endomorphisme f qui vérie f 2 = −IdE .
1. Soit ~a 6= ~0E un élément de E . On note F (~a) = Vect(~a, f (~a)).
(a) Montrer que F (~a) est stable par f .
(b) Montrer que la famille (~a, f (~a)) est libre. En déduire la dimension de F (~a).
(c) Quelle est la matrice de la restriction f|F (~a) dans la base (~a, f (~a)) ?
2. On construit (tant que c'est possible) une suite (~ai ) de la manière suivante :
~a1 ∈ E , ~a1 6= ~0E
h
et pour k > 0,
~ak+1 ∈ E \ F (~a1 ) + · · · + F (~ak ) .
i
(a) Montrer que F (~a1 ) + · · · + F (~ak ) ∩ F (~ak+1 ) = {~0E }.
(b) Montrer par récurrence sur k que la somme F (~a1 ) + · · · + F (~ak ) est directe.
Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel déni par cette somme ?
3. Déduire des questions précédentes qu'il existe p ∈ N∗ tel que E = F (~a1 )⊕· · ·⊕F (~ap ). En déduire que la dimension
de E est paire et donner la matrice de f dans une base bien choisie.
[al011]
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