Espaces vectoriels - Page Personnelle de Jérôme Von Buhren

Interrogation orale - Espaces vectoriels
Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr
Espaces vectoriels
1
1.1
Exercice 6 : La partie suivante de F (R, R) est-elle un sous-espace vectoriel
{f : R → R | f vérie P}
Sous-espaces vectoriels
où P est une des propriétés : monotone, s'annule en 0, s'annule ou impaire.
Généralités
Exercice 1 : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
E . Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ssi F ⊂ G ou G ⊂ F .
1.2
Supplémentaires
Exercice 7 : Soient u = (1, . . . , 1) ∈ Kn et
Exercice 2 : On dénit
H = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn | x1 + x2 + · · · + xn = 0}.
n
F = (un ) ∈ RN | ∀n ∈ N,
o
un+2 = nun+1 + un .
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN .
Exercice 8 : Soient a0 , . . . , an ∈ R distincts. Déterminer un supplémentaire
au sous-espace-vectoriel
Exercice 3 : On dénit
n
F = (un ) ∈ RN | ∃T ∈ N∗ ,
o
un+T = un .
∀n ∈ N,
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN .
Exercice 4 : On note C l'ensemble des fonctions croissantes de F (R, R) et
E = f − g | (f, g) ∈ C
2
Montrer que H est un espace vectoriel et que Kn = H ⊕ Vect(u).
.
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F (R, R).
Exercice 5 : La partie suivante de RN est-elle un sous-espace vectoriel
F = {f : R → R | f (a0 ) = · · · = f (an ) = 0}
dans l'espace vectoriel F (R, R).
Exercice 9 : Déterminer un supplémentaire au sous-espace-vectoriel
F = f ∈ C 1 (R, R) | f (0) = f 0 (0) = 0
dans l'espace vectoriel C 1 (R, R).
Exercice 10 : Déterminer un supplémentaire au sous-espace-vectoriel
F =
n
o
(un ) ∈ RN | (un ) vérie P
Z
f ∈ C ([−1, 1] , C) 1
0
−1
où P est une des propriétés : bornée, monotone, convergente ou arithmétique ? dans l'espace vectoriel C 0 ([−1, 1] , C).
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f (t) dt = 0
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Exercice 11 : Déterminer un supplémentaire au sous-espace-vectoriel
F = f ∈ C 0 ([0, π] , R) | f (0) = f (π/2) = f (π)
dans C 0 ([0, π] , R).
Exercice 12 : Soit A ∈ R[X] \ {0}. On pose
F = {P ∈ R[X] | A divise P }.
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X].
2. Déterminer un supplémentaire de F dans R[X].
Exercice 13 : On désigne par F l'ensemble des polynômes paires de R[X] et
G = {P ∈ R[X] | ∃Q ∈ R[X],
P = (1 − X)Q(X 2 )}.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R[X].
2. Montrer que R[X] = F ⊕ G.
2
Familles de vecteurs
Exercice 16 : Montrer que (cos, sin, exp, Id) est une famille libre de F (R, R).
Exercice 17 : La famille (t 7→ 1, t 7→ Arctant, t 7→ Arctan(1/t)) est-elle libre
dans F (R∗ , R) ? dans F (R∗+ , R) ?
Exercice 18 : Soit (a, b, c) ∈ R3 . Les fonctions de R dans R données par
x 7→ sin(x + a),
x 7→ sin(x + b),
x 7→ sin(x + c)
sont-elles linéairement indépendantes ?
Exercice 19 : Soit P1 , . . . , Pn une famille de polynôme non nuls de C[X] de
degré strictement croissant. Montrer que (P1 , . . . , Pn ) est une famille libre.
Exercice 20 : Montrer que la famille ((X − a)−1 )a∈R de K(X) est libre.
Exercice 14 : Soient E un espace vectoriel et F, G, H trois sous-espaces vec- Exercice 21 : Montrer que les familles de fonctions de l'espace vectoriel
toriels de E . Démontrer que F , G et H sont en somme directe si et seulement F (R, R) suivantes sont libres.
si F ∩ G = {0} et (F + G) ∩ H = {0}.
a bt
(i) (t 7→ |t − a|)a∈R ,
(iv) (t 7→ sin(at))a∈R∗ ,
(ii) (t 7→ t e )a∈R+ ,
b∈R ,
(iii) (t 7→ cos(at))a∈R+ ,
n
(v) (t 7→ sin (t))n∈N∗ .
+
Exercice 15 : Soient F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel.
1. Montrer que si F1 et F2 ont un supplémentaire commun alors ils sont isoExercice 22 : Montrer que la famille (t 7→ eλt )λ∈C de l'espace vectoriel
morphes.
F (R, C) sur C est libre.
2. Montrer que la réciproque est fausse.
Exercice 23 : On dénit ϕa : R[X] → R, P 7→ P (a). Montrer que (ϕa )a∈R est
une famille libre de L (R[X], R).
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Exercice 24 : Soit (v1 , . . . , vn ) une famille libre d'un espace vectoriel E sur R. Exercice 29 : Soit a0 , . . . , an ∈ K distincts. On pose
On pose
n ∀k ∈ J1, n − 1K,
wk = vk + vk+1
∀i ∈ J0, nK,
et wn = vn + v1 .
Étudier l'indépendance linéaire de la famille (w1 , . . . , wn ).
Li (X) =
Y
j=0
j6=i
X − aj
ai − aj
∈ K[X].
Montrer que (L0 , . . . , Ln ) est une base de Kn [X].
Exercice 25 : Soient (u1 , . . . , un ) une famille libre de E et (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn .
Exercice 30 : Soit 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 des réels. On dénit
On note
v=
n
X
F = {f ∈ F ([0, 1], R) | ∀k ∈ J0, n − 1K,
αi ui .
i=1
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de F ([0, 1], R).
2. Déterminer une base de F .
Donner une CNS sur α ∈ Kn pour que la famille (u1 + v, . . . , un + v) soit libre.
Exercice 26 : On considère R comme un espace vectoriel sur Q.
√ √
1. Montrer que (1, 2, 3) est une famille libre.
f|[xk ,xk+1 ] est ane}.
3
Applications linéaires
2. Montrer que (ln(p))p∈P est une famille libre où P désigne l'ensemble des 3.1 Généralités
nombres premiers.
Exercice 31 : Soit p ∈ N. On dénit
f : C[X] → C[X],
Exercice 27 : On dénit
+∞
X
P (n) (X)
P ∈ R[X] P (X + 1) =
n!
(
F =
f : P 7→ (1 − pX)P + X 2 P 0 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Étudier l'injectivité et la surjectivité de f .
)
.
n=0
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X].
2. Montrer que X k ∈ F pour tout k ∈ N. Que peut-on en déduire ?
Exercice 32 : Soit ϕ : C ∞ (R) → C ∞ (R) donné par f 7→ f − f 0 .
1. Montrer que ϕ est un endomorphisme.
2. Calculer le noyau et l'image de ϕ.
Exercice 28 : Montrer que dans F (R, R), on a
Vect (x 7→ cos(nx))n∈N = Vect (x 7→ cosn (x))n∈N .
Exercice 33 : Montrer que l'application partie entière Ent : K(X) → K[X] est
linéaire et déterminer son noyau.
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Exercice 34 : Soit B ∈ K[X] non nul. On note q(P ) et r(P ) le quotient et le Exercice 39 : Soient E un espace vectoriel et f ∈ L (E) tel que
reste de la division euclidienne de P par B .
2
f − 3f + 2Id = 0.
1. Montrer que q et r sont des applications linéaires.
1. Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f .
2. Montrer que E = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f − 2Id).
2. Donner leur noyau et leur image.
3. Montrer que r est un projecteur.
Exercice 40 : Soit f ∈ L (E) tel que
Exercice 35 : Soit (f, g) ∈ L (E)2 tel que
∀x ∈ E,
g ◦ f ◦ g = g et f ◦ g ◦ f = f.
2. Montrer que f (Im(g)) = Im(f ).
Exercice 41 : Soient E, F deux espaces vectoriels, f ∈ L (E, F ) et A, B deux
sous-espaces vectoriels de E . Montrer
Exercice 36 : Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E . Montrer
f (A) ⊂ f (B)
(i) Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0} ⇔ Ker(f ) = Ker(f 2 ).
(ii) E = Im(f ) + Ker(f ) ⇔ Im(f ) = Im(f 2 ).
A + Ker(f ) ⊂ B + Ker(f ).
Exercice 43 : On suppose que E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr . On note
ϕ((X − a)P ) = 0.
∀i ∈ J1, rK,
Montrer qu'il existe λ ∈ R tel que ϕ(P ) = λP (a) pour tout P ∈ R[X].
Fi = {u ∈ L (E) | Im(u) ⊂ Fi }.
1. Montrer que Fi est un sous-espace vectoriel de L (E).
2. Montrer que L (E) = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr .
Exercice 38 : Soient u un endomorphisme d'un espace vectoriel E et F un
sous-espace vectoriel de E .
2. Exprimer u(u−1 (F )) en fonction avec Im(u).
⇔
Exercice 42 : Soit f : E → K une forme linéaire non nulle. Montrer que si
u ∈ E \ Ker(f ), alors E = Ker(f ) ⊕ Vect(u).
Exercice 37 : Soit ϕ ∈ L (R[X], R) tel que
1. Exprimer u−1 (u(F )) en fonction avec Ker(u).
f (x) = λx.
Montrer que f est une homothétie.
1. Montrer que Im(f ) et Ker(g) sont supplémentaires dans E .
∀P ∈ R[X],
∃λ ∈ K,
Exercice 44 : Soient E, F, G trois espaces vectoriels. On xe u ∈ L (E, F ),
v ∈ L (F, G) et on pose w = v ◦ u. Montrer que w est un isomorphisme ssi
3. Déterminer une CNS sur F pour que u(u−1 (F )) = u−1 (u(F )).
u est injective,
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v est surjective et Im(u) ⊕ Ker(v) = F.
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Exercice 45 : On suppose que E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr et on xe un endomorphisme Exercice 49 : Soient p, q ∈ L (E)2 deux projecteurs de même noyau F . Monui ∈ L (ui ) pour chaque i ∈ J1, rK.
trer que pour tout λ ∈ K, l'endomorphisme λp + (1 − λ)q est un projecteur de
noyau
F.
1. Montrer que
∃!u ∈ L (E),
∀i ∈ J1, rK,
u|Fi = ui .
Exercice 50 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs.
1. Montrer que p + q est un projecteur ssi p ◦ q = q ◦ p = 0.
2. Dans ce cas, donner le noyau et l'image de p + q .
2. Montrer que
Ker(u) = Ker(u1 ) ⊕ · · · ⊕ Ker(ur ),
Im(u) = Im(u1 ) ⊕ · · · ⊕ Im(ur ).
Exercice 51 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs distincts et non nuls.
Montrer (p, q) est une famille libre de L (E).
Exercice 46 : On dénit ∆ : R[X] → R[X], P 7→ P (X + 1) − P (X).
1. Montrer que ∆ est une application linéaire.
2. Déterminer Ker(∆) et Im(∆).
Exercice 52 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs qui commutent.
1. Montrer que p ◦ q est un projecteur de E .
2. Déterminer le noyau et l'image de p ◦ q .
3. Calculer ∆n .
4. En déduire que pour tout P ∈ Rn−1 [X], on a
n
X
k=0
3.2
n−k
(−1)
n
P (X + k) = 0.
k
Exercice 53 : Soit p ∈ L (E) un projecteur. Montrer que pour tout λ ∈ K
avec λ 6= −1, l'endomorphisme Id + λp est un isomorphisme.
Projecteurs
Exercice 47 : On note D = Vect(1, 0, 0) et P le sous-espace vectoriel d'équa- Exercice 54 : Soient p, q ∈ L (E) deux projecteurs telles que p ◦ q = 0.
1. Montrer que r = p + q − q ◦ q est un projecteur de E .
tion x + y + z = 0 dans R3 .
2. Déterminer le noyau et l'image de r.
1. Donner l'expression du projecteur sur D parallèlement à P .
2. Donner l'expression du projecteur par rapport à D parallèlement à P .
Exercice 48 : Soit (p, q) ∈ L (E)2 . Montrer l'équivalence entre les assertions
suivantes.
(i) p ◦ q = p et q ◦ p = q ,
(ii) p et q sont des projecteurs de même noyau.
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Solutions
Exercice 11 : On peut prendre G = Vect(cos, sin).
Exercice 15 : Notons H le supplémentaire commun et p la projection sur F1
parallèlement à H . Alors la restriction de p à F2 est un isomorphisme. Si on
pose F1 = R[X] et F2 = XR[X], alors F1 et F2 sont isomorphes, mais ils n'ont
pas de supplémentaires communs.
Exercice 25 : On trouve qu'elle est libre ssi 1 + α1 + · · · + αn 6= 0.
Exercice 31 : L'application f est injective, mais pas surjective.
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