TRAVAUX DIRIGÉS LM 125 ESPACES VECTORIELS

TRAVAUX DIRIGÉS LM 125
ESPACES VECTORIELS - APPLICATIONS LINÉAIRES
– Les feuilles d’exercices sont aussi disponibles sur ma page web :
http ://cermics.enpc.fr/∼pradeath/Enseignement.html
Questions de cours
Question 1. Rappeler la définition de la somme directe de deux sous-espaces vectoriels et celle de deux
sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Question 2. Soient E et F deux espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). Rappeler la définition du noyau et de
l’image de f .
Question 3. Soient E et F deux espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). On suppose que f est un isomorphisme
de E sur F , montrer que f −1 est un isomorphisme de F sur E.
Exercices
Sous-espaces supplémentaires.
Exercice 1. Soient F et G les deux sous-espaces vectoriels de R4 définis par
F = (x, y, z, t) ∈ R4 , x = y = z et G = (x, y, z, t) ∈ R4 , x = t = 0 .
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Exercice 2. Soit P2 l’espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à 2, et F
et G les sous-ensembles de P2 définis par
F = {p ∈ P2 , p est une fonction paire} et G = {p ∈ P2 , p(0) = p(1) = 0} .
(1) Caractériser les éléments de F et de G.
(2) En déduire que F et G sont des sous-espaces vectoriels de P2 .
(3) Montrer que F et G sont supplémentaires.
Exercice 3. Soit a ∈ R et les sous-espaces vectoriels de R3 suivants :
Fa = (x, y, z) ∈ R3 , ax + y − z = 0 et Ga = (x, y, z) ∈ R3 , ax − ay − z = 0, x = z .
(1) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de a pour que la somme de Fa et Ga soit
directe.
(2) Si a = 0, les sous-espaces vectoriels Fa et Ga sont-ils supplémentaires ?
(3) Si a = 1, les sous-espaces vectoriels Fa et Ga sont-ils supplémentaires ?
Exercice 4. Soit E = (un )n∈N ∈ RN , (un )n∈N convergente le sous-espace vectoriel des suites réelles
convergentes.
Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sousespaces vectoriels supplémentaires de E.
1
Image et noyau.
Exercice 5. Soit f un endomorphisme de Rn . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
Rn = Im(f ) ⊕ ker(f ),
(2)
2
(3)
Im(f ) = Im(f ),
ker(f ) = ker(f ).
Exercice 6.
(1)
2
(1) Pour des applications linéaires f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G), établir l’équivalence
g ◦ f = 0 ⇐⇒ Im f ⊂ ker g.
(2) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E tel que f 2 + f − 2idE = 0, où idE est l’application
identité. Montrer que
Im(f − idE ) ⊂ ker(f + 2idE ),
Im(f + 2idE ) ⊂ ker(f − idE ),
E = ker(f − idE ) ⊕ ker(f + 2idE ).
Exercice 7. Soit n ∈ N et E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n.
Pour p ≤ n, on note ep le polynôme défini par ep (x) = xp pour tout x ∈ R.
Soit f l’application définie sur E par f (P ) = Q où Q(x) = P (x + 1) + P (x − 1) − 2P (x) pour tout x ∈ R.
(1) Montrer que f est une application linéaire de E dans E.
(2) Calculer f (ep ). Quel est son degré ? En déduire Im f et ker f .
(3) Soit Q un polynôme de Im f . Montrer qu’il existe un unique polynôme P tel que f (P ) = Q et
P (0) = P 0 (0) = 0.
Applications linéaires.
Exercice 8. Soit E un espace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + idE , où idE est l’application
identité. Montrer que f est un automorphisme (i.e. f est bijective).
Exercice 9. Soit E un espace vectoriel, on note idE l’application identité. Soit u un endomorphisme de E,
– on dit que u est un projecteur si u ◦ u = u,
– on dit que u est involutif si u ◦ u = idE .
(1) Montrer que si u est un projecteur, alors idE − u est un projecteur. Vérifier que
Im u = {x ∈ E, u(x) = x}
et
E = ker u ⊕ Im u.
(2) Montrer que si u est involutif, alors c’est un isomorphisme et E = Im(idE + u) ⊕ Im(idE − u).
(3) Montrer que si u est un projecteur, alors 2u − idE est involutif. Montrer que tout endomorphisme
involutif peut se mettre sous cette forme.
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