TRIGONOMÉTRIE ET ANGLES ORIENTÉS
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1ère S Trigonométrie Cours TRIGONOMÉTRIE ET ANGLES ORIENTÉS Première S - Chapitre 5 Table des matières I Le cercle trigonométrique et le radian I 1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2 Le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Cosinus et sinus d’un réel II 1 Cosinus, sinus et cercle trigonométrique II 2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3 Valeurs particulières à connaître . . . . . II 4 Formules de correspondances . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Angles orientés III 1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2 a Vecteurs colinéaires et angles orientés III 2 b Relation de Chasles . . . . . . . . . . III 2 c Conséquences de la relation de Chasles III 3 Mesure principale d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Résolution d’équations trigonométriques N. Peyrat Lycée Saint-Charles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 . . . . 3 3 4 4 4 . . . . . . 5 5 5 5 5 5 6 7 1/ 7 1ère S Trigonométrie Cours Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;~i, ~j). I Le cercle trigonométrique et le radian I1 Le cercle trigonométrique Définition On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1 sur lequel on choisit un sens de parcours, appelé le sens direct. Enroulement de la droite des réels : Soit d la tangente à C au point I(1 ; 0). Alors tout point N de d est repéré par un unique réel x. (d peut être assimilé à un axe gradué) En enroulant la droite d sur le cercle C, on associe à tout réel x un unique ÷. point M (x) du cercle C et on dit que x est une mesure de l’angle IOM Remarque : La longueur d’un cercle de rayon R est donnée par la formule 2πR. Or le cercle trigonométrique a pour rayon R = 1, donc sa longueur est de 2π. π Son demi-cercle a donc pour longueur π et son quart de cercle a pour longueur . 2 Exemple : π 3π π Tracer un cercle trigonométrique et placer les points I(0), J( ), K(π), L( ), M (2π), N (− ), 2 2 2 3π P (− ). 4 Propriété Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, les points M (x) et M 0 (x + k × 2π) du cercle trigonométrique sont confondus. Exemple : Dans l’exemple précédent, I et M sont confondus, et N et L sont confondus. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 2/ 7 1ère S I2 Trigonométrie Cours Le radian Définition Le radian est l’unité de mesure des angles tel que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 1. Exemple : ÷ = α. Faire un cercle trigo et placer un point M (x) tel que IOM ÷ de mesure α degrés intercepte l’arc IM ¯ de longueur x. L’angle IOM ÷ mesure x radians. On dit alors que l’angle IOM Remarques : Un angle plat mesure π radians. π Un angle droit mesure radians. 2 Un angle nul mesure 0 radians. Propriété (admise) Les mesures en degré et en radian d’un angle sont proportionnelles. Exemple : degré 0 180 radian 0 π 90 π 2 60 π 3 45 π 4 30 π 6 II Cosinus et sinus d’un réel II 1 Cosinus, sinus et cercle trigonométrique Propriété Soit C le cercle trigonométrique de centre O dans un repère orthonormé direct (O ;~i, ~j). −−→ Soit x un réel et M le point de C tel que (~i, OM ) = x radians. Le point M a alors pour coordonnées : M (cos x ; sin x) −−→ Autrement dit : OM = cos x × ~i + sin x × ~j. Démonstration : Trigonométrie dans un triangle rectangle. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 3/ 7 1ère S II 2 Trigonométrie Cours Propriétés Propriété Pour tout réel x, on a : −1 6 cos x 6 1 ; −1 6 sin x 6 1 ; cos2 x + sin2 x = 1 Démonstration : Faire une démonstration rapide et à l’aide du triangle rectangle. Propriété (admise) • ∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x. • ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x. • ∀x ∈ R, cos(x + k × 2π) = cos(x) et sin(x + k × 2π) = sin(x). II 3 Valeurs particulières à connaître II 4 Formules de correspondances Propriété (admise) Pour tout réel x : π − x = cos x ã Å2 π sin + x = cos x 2 sin(π − x) = sin x sin(π + x) = − cos x Å sin N. Peyrat ã π − x = sin x Å2 ã π cos + x = − sin x 2 cos(π − x) = − cos x cos(π + x) = − sin x Å ; ; ; ; ã cos Lycée Saint-Charles 4/ 7 1ère S Trigonométrie III Angles orientés III 1 Définition Cours Définition Soit C un cercle trigonométrique de centre O dans un repère orthonormé direct (O ;~i, ~j). −−→ −−→ Pour tous points M et N de C, on appelle mesure de l’angle orienté (OM , ON ) la famille de nombres ˘ sous la forme x + k × 2π (k ∈ Z), où x est la longueur de l’arc M N. Faire une figure. III 2 Propriétés III 2 a Vecteurs colinéaires et angles orientés • ~u et ~v sont colinéaires et de même sens ⇔ (~u, ~v) = 0 + k × 2π, k ∈ Z. • ~u et ~v sont colinéaires et de sens contraire ⇔ (~u, ~v) = π + k × 2π, k ∈ Z. • ~u et ~v sont colinéaires ⇔ (~u, ~v) = 0 + k × π, k ∈ Z. III 2 b Relation de Chasles Propriété Pour tous vecteurs ~u, ~v et w ~ non nuls du plan, on a : (~u, w) ~ = (~u, ~v) + (~v, w) ~ III 2 c Conséquences de la relation de Chasles Propriété Pour tous vecteurs ~u et ~v non nuls : 1) (~u, ~v) = −(~v, ~u). 2) (~u, −~v) = (~u, ~v) + π. 3) (−~u, ~v) = (~u, ~v) + π. 4) (−~u, −~v) = (~u, ~v). Faire une figure en-dessous de chaque propriété. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 5/ 7 1ère S Trigonométrie Cours Démonstration : 1) (~u, ~u) = 0 ⇔ (~u, ~v) + (~v, ~u) = 0 ⇔ (~u, ~v) = −(~v, ~u). 2) (~u, −~v ) = (~u, ~v ) + (~v , −~v ). Or ~v et −~v sont opposés, donc colinéaires de sens contraire, donc (~v , −~v ) = π. Donc (~u, −~v ) = (~u, ~v ) + π. 3) (−~u, ~v ) = (−~u, ~u) + (~u, ~v ) = π + (~u, ~v ). 4) (−~u, −~v ) = (−~u, ~u) + (~u, ~v ) + (~v , −~v ) = π + (~u, ~v ) + π = (~u, ~v ) + 2π. C’est-à-dire (−~u, −~v ) = (~u, ~v ). Remarque importante : (~u, −~u) a pour mesure π radian, mais aussi −π radian. Les formules 2) et 3) peuvent donc s’écrire : 2) (~u, −~v) = (~u, ~v) − π. 3) (−~u, ~v) = (~u, ~v) − π. En pratique, il pourra être utile de faire apparaitre un nombre identique de fois +π et −π pour procéder à une simplification immédiate. Par exemple, la démonstration de la propriété 4) peut ainsi s’écrire : (−~u, −~v ) = (−~u, ~u) + (~u, ~v ) + (~v , −~v ) = π + (~u, ~v ) − π = (~u, ~v ). III 3 Mesure principale d’un angle Un angle possède en radian une infinité de mesures. En effet, si x est une mesure d’angle en radian, alors x + 2π, x − 4π, ..., x + k × 2π (k ∈ Z) en sont d’autres. Définition La mesure principale d’un angle est son unique mesure en radian appartenant à l’intervalle ] − π ; π]. Exemples : Déterminer les mesures principales de α = − 19π 59π et β = . 3 8 1ère méthode : par intuition, ou en testant plusieurs fois. 19π −19π 18π π − + 6π = + = − ∈] − π ; π]. 3 3 3 3 π Donc − est la mesure principale de α. 3 2ème méthode : en décomposant la mesure pour faire apparaitre le « bon » multiple de 2π. 19π −18π − π π π α=− = = − − 6π − = −3 × 2π − . 3 3 3 3 π π Or − ∈] − π ; π] donc − est la mesure principale de α. 3 3 3ème méthode : plus « lourde » en calculs mais fonctionne à tous les coups sans chercher. 19π On cherche k ∈ Z tel que α + k × 2π ∈] − π ; π], c’est-à-dire : −π < − + k × 2π 6 π 3 19 ⇔ −1 < − + 2k 6 1 3 N. Peyrat Lycée Saint-Charles 6/ 7 1ère S Trigonométrie Cours 19 19 ⇔ −1 + < 2k 6 1 + 3 3 22 16 < 2k 6 ⇔ 3 3 8 11 ⇔ <k6 . 3 3 8 11 Or ≈ 2, 67 et ≈ 3, 67 et k ∈ Z. 3 3 Donc k = 3. Il faut donc ajouter 3 × 2π à α. 19π π Ainsi, − + 3 × 2π = − ∈] − π ; π]. 3 3 π Donc − est la mesure principale de α. 3 Exemples : Faire les trois méthodes pour β. On obtient − IV 5π . 8 Résolution d’équations trigonométriques Propriété (admise) Soit α un réel. cos x = cos α ⇔ x = α + k × 2π, k ∈ Z ou x = −α + k 0 × 2π, k 0 ∈ Z Soit α un réel. sin x = sin α ⇔ N. Peyrat x = α + k × 2π, k ∈ Z ou x = π − α + k 0 × 2π, k 0 ∈ Z Lycée Saint-Charles 7/ 7
