Fiche d`exercices 4 : arithmétique dans Z

Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques
Module S1 A ou B Math
Année 2007-2008
http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/
Fiche d’exercices 4 : arithmétique dans Z
Exercice 1. Soit a un entier relatif. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2 par 8 vaut
0, 1 ou 4. En déduire qu’aucun entier congru à 7 modulo 8 n’est somme de trois carrés d’entiers.
Exercice 2. Montrer que pour tout entier relatif n, 5n3 + n est divisible par 6.
Exercice 3. Pour quelles valeurs n ∈ Z a-t’on : 11n + 8 est divisible par 3n + 4 ?
Exercice 4. Soit a et b deux entiers premiers entre eux. Montrer que :
1. pgcd(a + b, a − b) vaut 1 ou 2.
2. pgcd(a + b, ab) = 1.
3. pgcd(a + b, a2 + b2 ) = 1 vaut 1 ou 2.
Exercice 5.
1. Montrer que pour tout entier naturel k, 10k est congru à 1 modulo 9, puis retrouver le critère
de divisibilité par 9 : un entier n est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres
est divisible par 9.
2. En utilisant les congruences modulo 11, trouver un critère de divisibilité des entiers par 11.
Application : 52194172162 est-il divisible par 11 ?
Exercice 6. À l’aide de l’algorithme d’Euclide, calculer le plus grand diviseur commun de 210 et 66.
Que vaut le plus petit multiple commun ?
Exercice 7.
1. Trouver deux entiers u et v tels que 127u + 506v = 1.
2. En déduire tous les entiers u et v tels que 127u + 506v = 1.
Exercice 8. Soit m, n deux entiers et a, b, c, d quatre entiers tels que ad − bc = 1.
1. Trouver deux entiers α et β tels que m = α(am + bn) + β(cm + dn).
2. En déduire que les diviseurs communs de am + bn et cm + dn divisent m.
3. Montrer que pgcd(am + bn, cm + dn) = pgcd(m, n).
Exercice 9. Montrer que 154 et 1271 sont premiers entre eux.
Exercice 10. E xemple simple de fonction de chiffrement Soit S l’ensemble de tous les entiers n
vérifiant 0 ≤ n ≤ 25. On fixe deux éléments a et b de S et on considère la fonction de S dans S définie
pour tout x de S par :
Ca,b (x) ≡ ax + b (mod 26).
1. Montrer que si a n’est pas premier à 26, la fonction Ca,b n’est pas bijective.
2. Soit a premier à 26. Montrer qu’il existe a0 dans S tel que aa0 ≡ 1 (mod 26).
3. Montrer que si a est premier à 26, la fonction Ca,b est bijective.
4. Soit a premier à 26, calculer fonction réciproque de Ca,b .
5. (*) Indiquer pourquoi la fonction Ca,b peut-être utilisée pour chiffrer des messages et pourquoi
elle est trop simple pour être utilisée par James Bond.
Exercice 11. Montrer que si n et k sont premiers entre eux, alors n divise nk .
1
Exercice 12. Calculer la décomposition en facteurs premiers de 550 et 3250. En déduire leurs ppcm
et pgcd.
Exercice 13. Soit n un entier relatif. Après avoir écrit l’entier n4 − 20n2 + 4 comme différence de
deux carrés d’entiers, montrer qu’il n’est pas premier.
√
Exercice 14.
1. Soit p un nombre premier. Montrer que p est irrationnel.
2. (*) Soit n ≥ 2 un entier. On écrit n = pν11 · · · pνωω la décomposition en facteurs premiers de n où
ν1 , . . . , νω sont strictement positifs et on suppose qu’il existe k tel que νk est impair. Montrer
√
que n est irrationnel.
3. Quels sont les seuls entiers dont la racine carrée est rationnelle ?
Exercice 15. Que vaut min|p−q| lorsque p et q parcourt l’ensemble des nombres premiers strictement
supérieur à 2 avec p 6= q ?
Exercice 16. Soit n > 1 un entier naturel et n = pν11 · · · pνωω la décomposition en facteurs premiers de
n où ν1 , . . . , νω sont strictement positifs. Donner le nombre de diviseurs positifs de n en fonction de
ν1 , . . . , νω .
Exercice 17. L’objet de cet exercice est de montrer que si n ≥ 6 n’est pas premier alors (n − 1)! est
divisible par n.
1. Soit n un entier naturel produit de deux entiers distincts supérieurs ou égaux à 2. Montrer que
n divise (n − 1)!.
2. Quels sont les nombres qu’on ne peut pas écrire comme produit de deux entiers distincts
supérieurs ou égaux à 2 ?
3. Soit n le carré d’un nombre premier p. Montrer que si p 6= 2 alors 2p < p2 . En déduire que n
divise (n − 1)!.
4. Que se passe t’il si n < 6 ou si n est premier ?
Exercice 18. (*)E xemple simple de code correcteur d’erreur Le numéro insee d’un individu est
formé de 13 chiffres et d’une clé de contrôle de deux chiffres. Le premier chiffre est 1 pour les hommes,
2 pour les femmes. Les deux chiffres suivants sont les deux derniers chiffres de l’année de naissance,
les deux suivants le mois de naissance, les deux suivants le département de naissance, les trois suivants
la commune de naissance, les trois suivants le numéro d’inscription sur le registre d’état civil et les
deux derniers sont une clé de contrôle C. En notant A le nombre formé des 13 premiers chiffres, on a
C = 97 − r ou r est le reste de la division euclidienne de A par 97.
1. Vérifier la clé de votre numéro insee.
2. Soit Q le reste de la division euclidienne de A par 106 et R le reste. Montrer que r est aussi le
reste de la division euclidienne de 27Q + R par 97.
3. Soit B = A + C. Montrer que B est divisible par 97.
ft un nombre obtenu à
4. Soit At = 100A + C le numéro insee entier (constitué de 15 chiffres) et A
ft | = a × 10n avec a et n des
partir de At en changeant un chiffre et un seul. Montrer que |At − A
entiers naturels et 1 ≤ a ≤ 9.
ft désigne un numéro insee, sa clé de contrôle C
e se lit sur les deux derniers chiffres : A
ft =
5. Si A
e C.
e Montrer que si le changement de chiffre s’est fait sur C, alors A
e = A et |C−C|
e = a×10n
100A+
n
e
e
et que s’il s’est fait sur A, alors |A − A| = a × 10 et C = C.
e defini par B
e = A+
e C.
e Montrer que |B − B|
e = a×10n pour un certain entier a ∈ {1, . . . , 9}.
6. Soit B
7. Soit a et n des entiers comme dans 4, montrer que 97 ne divise pas a × 10n .
ft ne désigne pas un numéro insee.
8. En déduire que A
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