TP7(9/3)

7. Exercises TP7, le 10 mars 2017
Exercice 7.1. (i) Trouver le pgcd(23 54 72 , 999) et le ppcm(23 54 72 , 999).
(ii) Posons d := pgcd(23 54 72 , 999) . Trouver s, t entiers tels que s23 54 72 + t999 = d.
(iii) Trouver deux entiers x, y tels que 24x + 33y = 11.
(iv) Trouver un entier x et une fraction y tels que 24x + 33y = 11.
Exercice 7.2. (i) Utiliser l’algorithme de Bézout-Euclide pour trouver deux nombres entiers a et b
tels que 40a + 31b = 843. Faire ça une fois avec la méthode des substitutions et une fois avec la
méthode de Bézout.
(ii) Soient a, b comme en (i). Montrer que pour chaque entier n on a aussi
40(a + 31n) + 31(b − 40n) = 843.
Inversement, si on a 40x + 31y = 843 pour un couple d’entiers x et y, alors il existe un entier n tel
que x = a + 31n et y = b − 40n. En particulier, en choisissant n bien on trouve que
40 · 42 − 31 · 27 = 843.
(iii) Un marchand vend deux types de produit. L’un coûte $31 chacun, et l’autre $40 chacun. Dans
un jour il a vendu pour $843 de marchandise. Combien de produits a-t-il vendu ?
Exercice 7.3. (i) Soient a, c, n des entiers où n > 0. Montrer qu’il existe un entier x tel ax ≡n c si
et seulement si pgcd(a, n) divise c.
(ii) Trouver un entier x tel que 7x ≡100 1.
Exercice 7.4. (i) Le nombre 9153689342192 est divisible par 11 si et seulement si 9 + 15 + 36 + 89 +
34 + 21 + 92 est divisible par 11 si et seulement si 9 − 1 + 5 − 3 + 6 − 8 + 9 − 3 + 4 − 2 + 1 − 9 + 2
est divisible par 11. Expliquer.
(ii) Donner la représentation hexadécimal de 106 . Écrire [1234567]10 sur la base 100. Montrer
que [1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0]b est divisible par [1, 0, 0, 0]b , où b > 1. Donner la représentation hexadécimal
de [1, 2, 3, 4, 5, 6]7 .
(iii) Soit m > n > 0 deux nombres naturels. Soit N = [cs , cs−1 , . . . , c1 , c0 ]n un nombre naturel
écrit sur la base n; en particulier pour chaque i on a 0 ≤ ci < n. Définissons un autre nombre
naturel M (avec exactement les mêmes chiffres mais sur la base m) par
M = [cs , cs−1 , . . . , c1 , c0 ]m .
Soit d > 0 un nombre naturel et supposons que m ≡d n et N est que divisible par d. Montrer que
M est aussi divisible par d.
Exercice 7.5. (i) Soit n = (1428 + 109 · 23 − 301) · (5432 + 115 ). Quel est le dernier chiffre de n dans
la représentation hexadécimale ?
(ii) Supposons que n|3a et qu’il existe deux entiers s, t tels que 3s + nt = 1. Montrer que n|a.
Exercice 7.6. Montrer par une preuve par induction (généreuse) que chaque nombre naturel n > 1
peut s’écrire uniquement comme n = 2e q, ou e ∈ N et q un nombre naturel impair. Vous n’avez pas
le droit d’utiliser le théorème de factorisation première unique (mais vous pouvez imiter sa preuve
!).
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