Partie I. Une formule d`Euler. Partie II. Constante d`Euler.

MPSI A - MPSI B
2009-2010 DS Commun 2
On rappelle qu'aucune notion de somme innie ou de produit inni ne gure
dans le programme de MPSI. Aucun raisonnement faisant intervenir de telles notions ne
sera pris en compte.
Dans tout ce problème1 , x et δ désignent des nombres réels strictement supérieurs à 1.
On introduit diverses notations particulières.
La partie entière de x est notée bxc. La partie fractionnaire de x est notée {x}. Par
dénition :
x = bxc + {x}
a. Pour tout entier naturel non nul j , montrer que
δ−1
1
1
δ−1
≤ δ−1 −
≤
(j + 1)δ
j
(j + 1)δ−1
jδ
b. Montrer que
1
1
1
1
−
≤ Zi ≤
+1−
δ−1
δ − 1 (δ − 1)(i + 1)
δ−1
(δ − 1)iδ−1
{x} ∈ [0, 1[
c. Montrer que la suite (Zi )i∈N∗ est convergente. On note ζ(δ) sa limite2 . Montrer
que
L'ensemble des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à x est noté E(x).
L'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à x est noté P(x). Le nombre
d'éléments de P(x) est noté π(x).
L'ensemble des entiers dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que des
éléments de P(x) est noté N (x).
Pour tout entier naturel non nul m, l'ensemble des entiers dont la décomposition en
facteurs premiers ne contient que des éléments de P(x) avec des exposants inférieurs
ou égaux à m est noté Nm (x).
Pour tout δ ≥ 1 xé, on dénit :
Zx =
X
n∈E(x)
1
nδ
X
Sm (x) =
n∈Nm (x)
2 avril 2017
1
1
≤ ζ(δ) ≤
+1
δ−1
δ−1
d. Pour x xé, montrer que la suite (Sm (x))m∈N∗ est convergente. On note S(x) sa
limite. Montrer que
S(x) ≤ ζ(δ)
4. Soit p un nombre premier, montrer que la suite
m
X
1
pkδ
1
nδ
k=0
est convergente et préciser sa limite.
5. Montrer que :
Partie I. Une formule d'Euler.
Dans cette partie δ > 1 et x ≥ 2.
Zx ≤
p∈P(x)
m
X
1
pkδ
Y
p∈P(x)
1. Parmi les ensembles E(x), N (x), Nm (x) lesquels sont nis ? Pour chacun de ceux là,
préciser le cardinal avec les notations de l'énoncé.
Montrer que, pour x xé, il existe un entier m à préciser tel que E(x) ⊂ Nm (x).
Montrer que, pour x et m xés, il existe un y > 1 à préciser tel que Nm (x) ⊂ E(y) ?
Que peut-on en déduire pour les sommes Sm (x), Zx , Zy ?
2. Montrer que
!
Y
lim
Y
x→∞
p∈P(x)
1
≤ ζ(δ)
1 − p1δ
1
= ζ(δ)
1 − p1δ
Partie II. Constante d'Euler.
Dans cette partie on prend δ = 1 et on note
= Sm (x)
Zx =
3. Étude de la suite (Zi )i∈N∗ .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
m∈N∗
En déduire une formule d'Euler :
k=0
1 d'après Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres,
!
X 1
n
n∈E(x)
2 il
G. Tenenbaum
1
s'agit de la très célèbre fonction zeta de Riemann
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1. Pour tout entier naturel non nul n, on pose un = Zn − ln n.
a. Montrer que pour tout entier naturel non nul i :
1
1
≤ ln(i + 1) − ln(i) ≤
i+1
i
b. Déduire de la question a. que la suite (un )n∈N∗ est décroissante.
c. Déduire de la question a. que
∀n ∈ N∗ :
v
équation uv = x
1
≤ un
n
d. Montrer que la suite (un )n∈N∗ est convergente. On note γ sa limite3 et vn = un −γ
pour tout naturel non nul n.
2. Montrer que
∀x ∈ [0, 1[ : x + ln(1 − x) +
?
x2
≥0
2(1 − x)
En déduire que
∀n ∈ N
∗
1
1
1
:
+ ln 1 −
+
≥0
n+1
n+1
2n(n + 1)
1
. Montrer que la suite (wn )n∈N∗ est
3. Pour tout naturel non nul n, on pose wn = vn − 2n
croissante puis que :
∀n ∈ N∗ : 0 ≤ Zn − ln n − γ ≤
4. Montrer que
∀x ∈ [0, 1[ : x + ln(1 − x) +
1
2n
x2
≤0
2(1 + x)
m entier
En déduire que
∀n ∈ N∗ :
puis que la suite vn −
1
n+1
1
2(n+1)
+ ln 1 −
n∈N∗
1
n+1
+
1
≤0
2(n + 1)(n + 2)
Fig.
u
1: Hyperbole de Dirichlet
est décroissante. Montrer l'équivalence des suites :
Zn − ln n − γ ∼
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
2n
2
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a. En considérant le développement de (1 + 1)2m+1 , montrer que
Partie III. Valeur moyenne du nombre de diviseurs.
Dans cette partie, δ = 1. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note τ (n) le
nombre de diviseurs de n et D(x) la somme des nombres de diviseurs des entiers inférieurs
ou égaux à x. On se propose de montrer que, en +∞,
2m + 1
≤ 4m
m
b. Soit p un nombre premier vériant
m + 1 < p ≤ 2m + 1.
Montrer que p divise 2m+1
.
m
c. En déduire que
D(x)
1 X
1
=
τ (n) = ln x + 2γ − 1 + O( √ )
x
x
x
n∈E(x)
1. Question de cours.
Soient f , g , h des fonctions dénies dans ]1, +∞[ et qui ne s'annulent pas. Énoncer la
dénition de :
en + ∞ :
f (x) = g(x) + O(h(x))
θ(2m + 1) − θ(m + 1) ≤ ln
2m + 1
m
4. Montrer que l'inégalité est vraie pour tout naturel non nul n ≥ 2.
2. Sur la gure 1, les points représentés par les petits disques sont à coordonnées entières
et on note Hx la courbe (hyperbole de Dirichlet). Comment s'interprètent τ (x) et D(x)
pour cette gure ? Préciser l'ordonnée marquée par un point d'interrogation.
Montrer que :
X
b
2
√
m∈E( x)
3. Montrer que
xZ√x −
√
√
x
c = D(x) + b xc2
m
X
x≤
b
√
m∈E( x)
x
c ≤ xZ√x
m
4. Former un encadrement montrant le résultat annoncé.
Partie IV. Une inégalité de Chebychev.
On se propose dans cette partie de montrer l'inégalité de Chebychev :
∀n ∈ N \ {0, 1}, θ(n) ≤ n ln 4
avec
θ(n) =
X
ln p
p∈P(n)
1. Montrer ce résultat pour n = 2.
2. Montrer que si n ≥ 4 est pair et si l'inégalité est vraie au rang n − 1 alors elle l'est au
rang n.
3. On suppose maintenant que n est impair et on l'écrit n = 2m + 1 avec m ∈ N.
3 constante
d'Euler
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