Exercice 1. Exercice 2. Problème 1. Problème 2. Partie I.

MPSI B
DS 2 2008-2009
22 mai 2017
Exercice 1.
Résoudre
y 00 (x) + 2y 0 (x) + 2y(x) = 2 ch x cos x
M3
Exercice 2.
Soit ABC un triangle de centre de gravité G. Montrer en utilisant les propriétés du
déterminant que les triangles ABG, BCG et CAG ont la même aire.
B
M
M4
Problème 1.
On cherche1 les fonctions deux fois dérivables dans R et à valeurs complexes vériant
l'équation fonctionnelle
∀(x, y) ∈ R2 : f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y)
O
A
(1)
1. Soit f une fonction qui n'est pas la fonction nulle et vériant la relation.
a. Montrer que f (0) = 1 et que f est paire.
b. Montrer que
M2
C
M1
∀(x, y) ∈ R2 : f (x)f 00 (y) = f 00 (x)f (y)
c. Montrer que
1 λx
e + e−λx
2
où λ est une racine carrée (complexe) de f 00 (0).
a. Montrer que pour tout nombre complexe λ, la fonction dénie par :
1 λx
e + e−λx
∀x ∈ R : f (x) =
2
∀x ∈ R : f (x) =
2.
Fig.
Partie I.
1. Soit a et b deux nombres complexes et s la fonction de C dans C dénie par :
vérie l'équation fonctionnelle.
b. Quelles sont les fonctions à valeurs réelles qui vérient la relation ?
∀z ∈ C : s(z) = az + b
On dira que s est une involution lorsque :
Problème 2.
Dans tout le problème
→
− →
−
(O, i , j ).
2,
on se place dans un plan P muni d'un repère orthonormé direct
∀z ∈ C : s ◦ s(z) = z
Question préliminaire. Soit u un nombre complexe non nul, montrer que les points d'afxes u, ju, j 2 u forment un triangle équilatéral.
1 d'après
2 d'après
1: M , M1 , M2 , M3 , M4
a. Former un système de relations entre a et b caractérisant que s est une involution.
b. Lorsque s est une involution du type précédent, quelle est la nature de la transformation du plan qui à un point d'axe z associe le point d'axe s(z) ?
Leçons sur quelques équations fonctionnelles E Picard 1928. Voir Aeqfonc2.pdf
concours général 2005
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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2. Préciser l'ensemble des complexes z tels que s(z) = z dans chacun des cas suivants :
s(z)
s(z)
= eiα z α ∈ R
b
= − z + b b ∈ C∗
b
Partie II
On considère dans P les points O, A, B , C respectivement d'axes 0, 1, j , j 2 .
On désigne par S1 , S2 , S3 , S4 les symétries axiales ayant respectivement pour axe les droites
(OA), (OB), (OC) et (BC). On note s1 , s2 , s3 , s4 les transformations de C dans C associées
aux symétries précédentes.
Soit M un point d'axe z (non nulle) et M1 , M2 , M3 , M4 les points d'axes
B
z1 = s1 (z), z2 = s2 (z), z3 = s3 (z), z4 = s4 (z)
M4
1. En utilisant la question I.2., calculer z1 , z2 , z3 , z4 en fonction de z . Montrer que M1 ,
M2 , M3 est équilatéral.
2. Montrer que M2 , M3 , M4 sont alignés si et seulement si M est sur un certain cercle à
préciser.
3. Dans le cas où M2 , M3 , M4 ne sont pas alignés. On note Ω (d'axe ω ) le centre du
cercle circonscrit à M2 , M3 , M4 .
a. Montrer que Ω est sur la droite (OM1 ).
b. On note ρ = |z| et θ un argument de z . Montrer que
ω=−
M
M2
M3
A
M1
1 + 2ρ cos θ −iθ
e
ρ + 2 cos θ
C
4. Trouver une expression du rayon noté R du cercle circonscrit à M2 , M3 , M4 .
5. Dans cette question, il pourra être utile de considérer
−ρ +
1 + 2ρ cos θ
ρ + 2 cos θ
Fig.
2: Alignement de M2 , M3 , M4
Montrer que R = 1 si et seulement si ρ = 1 ou
(ρ + cos θ)2 = 1 − 3 cos2 θ
6. Préciser géométriquement l'ensemble Γ des points M tels que les cercles circonscrits à
M1 , M2 , M3 et à M2 , M3 , M4 aient les mêmes rayons.
Compléter et interpréter les gures 3 et 4.
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Fig.
Fig.
4:
3:
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