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Lycée Hoche MPSI B
1.
Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes
Définition de l’exponentielle complexe
On rappelle que, si a est un nombre réel, on note
(Evc01)
1
a. Montrer qu’il existe un entier N tel que
n ≥ N ⇒ Re(1 +
−
+
a = max(a, 0), a = max(−a, 0)
z
)) > 0
n
b. Former l’expression trigonométrique de 1 +
utilisant la fonction arctan.
On a alors a = a+ − a− .
a. Montrer, pour tout r réel positif la convergence de
1 2
1 n
1
r + 2!
r + · · · + n!
r )n∈N .
la suite réelle (1 + 1!
z
n
en
c. montrer que
b. Soit (un )n∈N une suite de nombres complexes, on
pose
(1 +
z n
)
→ ez
n
n∈N
sn = u0 + u1 + · · · + un
Sn = |u0 | + |u1 | + · · · + |un |
Montrer que la convergence de la suite réelle
(Sn )n∈N entraı̂ne celle de la suite complexe (sn )n∈N .
Dans toute la suite et pour tout nombre complexe
z, on note
1
1
1
z + z2 + · · · + zn,
1!
2!
n!
1
1
1
Sn (z) = 1 + |z| + |z|2 + · · · + |z|n
1!
2!
n!
= sn (|z|)
sn (z) = 1 +
c. Montrer que (sn (z))n∈N converge. On note s(z) sa
limite.
d. Montrer que s(z) = s(z).
i. Montrer que, pour tout complexes z et z 0 ,
sn (z)sn (z 0 ) − sn (z + z 0 )
X
z i z 0j
=
i!j!
2
(i,j)∈{0,...,n} , i+j>n
ii. Montrer que pour tout complexes z et z 0 ,
i 0j X
zz (i,j)∈{0,...,n}2 , i+j>n i!j! ≤ s2n (|z| + |z 0 |) − sn (|z| + |z 0 |)
iii. En déduire
∀(z, z 0 ) ∈ C2 ,
s(z + z 0 ) = s(z)s(z 0 )
e. Soit z un nombre complexe fixé, montrer que la
dérivée de t → s(tz) est zs(tz).
En fait on définit la fonction exponentielle complexe en
posant exp(z) = s(z) pour tout nombre complexe z.
On vient de démontrer certaines des propriétés admises
en début d’année lors de la présentation des fonctions
usuelles.
2.
Soit z un nombre complexe de partie réelle a et
de partie imaginaire b. On se propose de déterminer la
limite de la suite
z (1 + )n
n
n∈N
(Evc02)
1 Voir
le cours Nombres complexes
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai ˙fex˙vcpdf du 17 novembre 2014
Lycée Hoche MPSI B
Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes : corrigés
1. pas de correction pour Evc01.tex
2. pas de correction pour Evc02.tex
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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