Devoir libre n 7 - MPSIA Lycée Hoche

MPSI A Lycée Hoche
Année scolaire 2015-2016
Devoir libre n◦7
A rendre pour le lundi 07/12
Pour tout n ∈ N∗ , on note π(n) le nombre d’entier premiers inférieurs ou égaux à n. Le célèbre théorème
des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et de La vallée Poussin en 1896 assure
que :
n
π(n) ∼
+∞ ln(n)
ce qui signifie encore que :
π(n) ln(n)
−−−−−→ 1.
n→+∞
n
La démonstration de ce théorème utilise des arguments hors de portée à ce stade, mais il est possible
d’obtenir de manière élémentaire un résultat plus faible démontré par Tchébychev en 1848 : il existe deux
constantes C1 , C2 > 0 telles que :
∀n ≥ 2, C1
n
n
≤ π(n) ≤ C2
.
ln(n)
ln(n)
C’est l’objectif de ce problème.
1
Préliminaires
1. Soient p et x deux réels strictement supérieurs à 1. Montrer qu’il existe un unique r ∈ N tel que
pr ≤< x < pr . Déterminer une expression de r.
2. Montrer que la fonction :
x ∈ [3, +∞[7→
x
ln(x)
est croissante.
3. Montrer que pour tout n ∈ N :
2n
2 ≤
≤ 22n .
n
n
4. Notons :
f:
R→R
x 7→ ⌊2x⌋ − 2⌊x⌋
Déterminer une expression simple de f (x) pour tout x ∈ R (on pourra distinguer deux cas selon la valeur
de Frac(x)). Représenter le graphe de f .
5. Soit p ∈ P.
p
a. Montrer que pour tout k ∈ J1, p − 1K, p divise
.
k
b. Soit n ∈ N∗ , soit k ∈ J1, pn − 1K. Montrer que :
n p
= n − νp (k).
νp
k
6. Soit p ∈ P, soit n ∈ N∗ .
a. Montrer qu’il existe kp ∈ N tel que : ∀k ≥ kp ,
n
pk
= 0.
b. Etablir la formule de Legendre :
kp X
n
νp (n!) =
.
pk
k=1
MPSI A Lycée Hoche
2
Année scolaire 2015-2016
Minoration de Tchébychev
Soit n ≥ 2. Pour tout p ∈ P, notons rp l’unique entier naturel tel que prp ≤ 2n < prp +1 .
7.a. Montrer que :
Y
2n prp
n
p∈P
p≤2n
b. En déduire que :
2n
≤ (2)π(2n) .
n
8. Montrer que :
π(n) ≥
3
ln(2) n
.
2 ln(n)
Majoration de Tchébychev
Soit n ≥ 2.
9.a. Démontrer que :
Y
p∈P
n+1≤p≤2n
2n
p
.
n
b. En déduire que : nπ(2n)−π(n) ≤ 22n .
10.a. Montrer que pour tout k ∈ N, on a :
k(π(2k+1 ) − π(2k )) ≤ 2k+1 .
b. Montrer que π(2k+1 ) ≤ 2k .
c. Montrer que pour tout m ∈ N :
π(2m+1 ) ≤ 3
2m+1
.
m+1
11. En déduire que :
π(n) ≤ 6 ln(2)
n
.
ln(n)