Exercice F2

Exercice F2
Partie I
2
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1. (x2 + 2) − 4x2 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = x4 + 4.
Pour tout réel x on a x4 + 4 = (x2 + 2) − 4x2 .
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2. On en déduit que : x4 + 4 = (x2 + 2) − (2x) = (x2 + 2) − 2x (x2 + 2) + 2x ,
donc x4 + 4 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2) .
Partie II
1. D’après la partie I, on peut écrire n4 + 4 = (n2 − 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = A × B
Sachant que n > 2, on a n > 0, donc n2 + 2n + 2 > 2, donc B > 2. D’autre part A = n(n − 2) + 2, donc A > 2.
De plus n étant un nombre entier, A et B sont des entiers.
n4 + 4 est le produit de deux entiers naturels dont aucun n’est égal à 1. Donc : n4 + 4 n’est pas premier .
2. Soit m un diviseur de A qui divise n.
Alors m divise n2 et m divise 2n, donc m divise A − n2 + 2n. Or A − n2 + 2n = 2. Donc m divise 2.
Tout diviseur de A qui divise n, divise 2 .
3. Soit m un diviseur commun de A et B.
Alors m divise B − A. Or B − A = n2 + 2n + 2 − n2 + 2n − 2 = 4n
Donc : tout diviseur commun de A et B, divise 4n .
4. Dans cette question on suppose que n est impair
(a) Puisque n est impair, on a n ≡ 1 (2), donc n2 ≡ 12 ≡ 1 (2)
D’autre part −2n + 2 ≡ 0 (2), donc n2 − 2n + 2 ≡ 1 (2), c’est-à-dire A ≡ 1 (2)
De même 2n + 2 ≡ 0 (2), donc n2 + 2n + 2 ≡ 1 (2), c’est-à-dire B ≡ 1 (2)
Donc : A et B sont impairs .
Si d était multiple de 2, alors A et B qui sont multiples de d seraient aussi multiples de 2, donc A et B
seraient pairs. On a démontré que A et B sont impairs, donc : d est impair .
(b) d divise A et B, donc d divise 4n = 2 × 2 × n.
d étant impair, il est premier avec 2.
Comme d divise 2 × 2 × n, en utilisant deux fois le théorème de Gauss on en déduit que :
d divise n .
(c) On sait d’après la question 2. que tout diviseur de A qui divise n divise 2.
d est un diviseur de A et d divise n, donc : d divise 2 .
Les diviseurs de 2 étant 1 et 2, puisqu’on a démontré que d est impair, on peut en déduire que d = 1,
c’est-à-dire que : A et B sont premiers entre eux .
5. On suppose dans cette question que n est pair.
(a) n est divisible par 2, donc n2 est divisible par 4.
n est divisible par 2, donc 2n est divisible par 4.
On a donc n2 − 2n ≡ 0 (4), donc n2 − 2n + 2 ≡ 2 (4), donc :
4 ne divise pas n2 − 2n + 2 .
(b) n étant pair, A = n2 − 2n + 2 et B = n2 + 2n + 2 sont des nombres pairs.
Donc 2 est un diviseur commun de A et B, donc 2 est un diviseur de d.
On peut donc écrire d sous la forme d = 2p, où p est un entier.
Si p était un nombre pair, alors d serait multiple de 4, par conséquent 4 serait un diviseur de d et donc 4
serait un diviseur de A, ce qui n’est pas le cas d’après la question précédente.
On en déduit que p est un nombre impair, et par conséquent : d est de la forme d = 2p, où p est impair .
(c) d divise B − A = 4n, donc 2p divise 4n, donc p divise 2n.
Sachant que p est impair, p est premier avec 2, donc p divise n (Théorème de Gauss).
On sait que p divise d et que d divise A, donc p divise A.
p divise alors A et n et d’après la question 2. on en déduit que p divise 2.
p étant un nombre impair, on a alors p = 1 et par conséquent : d = 2 .
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Terminale S : Arithmétique - Exercices
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